簡介
統計量（statistic）則是直接從樣本計算出的量數，代表樣本的特征。
概述
樣本的已知函數；其作用是把樣本中有關總體的信息彙集起來；是數理統計學中一個重要的基本概念。統計量依賴且隻依賴于樣本x1,x2,…xn；它不含總體分布的任何未知參數。
從樣本推斷總體（見統計推斷）通常是通過統計量進行的。例如x1,x2，…，xn是從正态總體N(μ,1）（見正态分布）中抽出的簡單随機樣本，其中均值（見數學期望）μ是未知的，為了對μ作出推斷，計算樣本均值。可以證明，在一定意義下，塣包含樣本中有關μ的全部信息，因而能對μ作出良好的推斷。這裡隻依賴于樣本x1,x2，…，xn，是一個統計量。
常用統計量
樣本矩
設x1,x2，…，xn是一個大小為n的樣本，對自然數k，分别稱 為k階樣本原點矩和k階樣本中心矩，統稱為樣本矩。許多最常用的統計量，都可由樣本矩構造。例如，樣本均值（即α1）和樣本方差 是常用的兩個統計量，前者反映總體中心位置的信息，後者反映總體分散情況。還有其他常用的統計量，如樣本标準差，樣本變異系數S/塣，樣本偏度，樣本峰度等都是樣本矩的函數。若(x1,Y1），（x2,Y2），…，（xn,Yn）是從二維總體（x，Y）抽出的簡單樣本，則樣本協方差·及樣本相關系數 也是常用的統計量，r可用于推斷x和Y的相關性。
次序統計量
把樣本X1,x2，…，xn由小到大排列，得到，稱之為樣本x1,x2，…,xn的次序統計量。其中最小次序統計量x⑴最大次序統計量x(n）稱為極值。還有一些由次序統計量派生出來的有用的統計量，還有一些由次序統計量派生出來的有用的統計量，如：樣本中位數 是總體分布中心位置的一種度量，若樣本大小n為奇數，若n為偶數，它容易計算且有良好的穩健性。樣本p分位數Zp(0
U統計量
這是W.霍夫丁于1948年引進的，它在非參數統計中有廣泛的應用。其定義是：設x1,x2，…，xn，為簡單樣本，m為不超過n的自然數，為m元對稱函數，則稱 為樣本x1,x2，…，xn的以為核的U統計量。樣本均值和樣本方差都是它的特例。從霍夫丁開始，這種統計量的大樣本性質得到了深入的研究，主要應用于構造非參數性的量的一緻最小方差無偏估計（見點估計），并在這種估計的基礎上檢驗非參數性總體中的有關假設。
秩統計量
把樣本X1，X2，…，Xn 按大小排列為，若 則稱Ri為xi的秩，全部n個秩R1，R2，…，Rn構成秩統計量，它的取值總是1,2，…，n的某個排列。秩統計量是非參數統計的一個主要工具。n還有一些統計量是因其與一定的統計方法的聯系而引進的。如假設檢驗中的似然比原則所導緻的似然比統計量，K.皮爾森的拟合優度（見假設檢驗）準則所導緻的Ⅹ統計量，線性統計模型中的最小二乘法所導緻的一系列線性與二次型統計量，等等。
完全性
統計量是由樣本加工而成的，在用統計量代替樣本作統計推斷時，樣本中所含的信息可能有所損失，如果在将樣本加工為統計量時，信息毫無損失，則稱此統計量為充分統計量。例如，從一大批産品中依次抽出n個，若第i次抽出的是合格品，則xi=0，否則xi=1(i=1,2，…，n）。總體分布取決于整批産品的廢品率p，可以證明：統計量，即樣本中的廢品個數，包含了（x1，x2，…，xn）中有關p的全部信息，是一個充分統計量。若取m
充分性是數理統計的一個重要基本概念，它是R.A.費希爾在1925年引進的，費希爾提出，并由J.奈曼和P.R.哈爾莫斯在1949年嚴格證明了一個判定統計量充分性的方法，叫因子分解定理。這個定理适用面廣且應用方便，利用它可以驗證很多常見統計量的充分性。例如，若正态總體有已知方差，則樣本均值塣是充分統計量。若正态總體的均值、方差都未知，則樣本均值和樣本方差S合起來構成充分統計量（塣，S）。一個統計量是否充分，與總體分布有密切關系。
将樣本加工成統計量要求越簡單越好。簡單的程度的大小，主要用統計量的維數來衡量。簡單地講，若統計量T2是由統計量T1加工而來（即T2是T1的函數)，則T2比T1簡單。在此意義上，最簡單的充分統計量叫極小充分統計量。這是E.L.萊曼和H.謝菲于1950年提出的。前例中的充分統計量都有極小性。在任何情況下，樣本x1,x2，…，xn本身就是一個充分統計量，但一般不是極小的。
關于統計量的另一個重要的基本概念是完全性。設T為一統計量，θ為總體分布參數，若對θ的任意函數g(θ），基于T的無偏估計至多隻有一個（以概率1相等的兩個估計量視為相同），則稱T為完全的。
抽樣分布
統計量的分布叫抽樣分布。它與樣本分布不同，後者是指樣本x1,x2，…，xn的聯合分布。
統計量的性質以及使用某一統計量作推斷的優良性，取決于其分布。
所以抽樣分布的研究是數理統計中的重要課題。尋找統計量的精确的抽樣分布，屬于所謂的小樣本理論（見大樣本統計）的範圍，但是隻在總體分布為正态時取得比較系統的結果。對一維正态總體，有三個重要的抽樣分布，即Ⅹ分布、t分布和F分布。
Ⅹ分布
設随機變量x1,x2，…，xn是相互獨立且服從标準正态分布N(0,1），則随機變量的分布稱為自由度為n的Ⅹ分布（其密度函數及下文的t分布、F分布的密度函數表達式均見概率分布）。
這個分布是 F.赫爾梅特于1875年在研究正态總體的樣本方差時得到的。
若x1,x2，…，xn是抽自正态總體N(μ,σ）的簡單樣本，則變量服從自由度為n-1的Ⅹ分布。若x1，x2，…，xn服從的不是标準正态分布，而依次是正态分布N(μi,1）（i=1,2，…，n），則的分布稱為非中心Ⅹ分布，稱為非中心參數。
當δ=0時即前面所定義的Ⅹ分布。為此，有時也稱它為中心Ⅹ分布。中心與非中心的Ⅹ分布在正态線性模型誤差方差的估計理論中，在正态總體方差的檢驗問題中（見假設檢驗），以及一般地在正态變量的二次型理論中都有重要的應用。
t分布
t分布設随機變量ξ，η獨立，且分别服從正态分布N(δ,1）及自由度n的中心Ⅹ分布，則變量的分布稱為自由度n、非中心參數δ的非中心t分布；當δ=0時稱為中心t分布。若x1，x2，…，xn是從正态總體N（μ,σ）中抽出的簡單樣本，以塣記樣本均值，以記樣本方差，則服從自由度n-1的t分布。
這個結果是英國統計學家W.S.戈塞特（又譯哥色特，筆名“學生”）于 1908年提出的。t分布在有關正态總體均值的估計和檢驗問題中，在正态線性統計模型對可估函數的推斷問題中有重要意義，t分布的出現開始了數理統計的小樣本理論的發展。
F分布
是 R.A.費希爾在20世紀20年代提出的。設随機變量ξ，η獨立，ξ服從自由度m、非中心參數δ的非中心Ⅹ分布，η服從自由度n的中心Ⅹ分布，則的分布稱為自由度（m,n）、非中心參數δ的非中心F分布，當δ=0時稱為中心F分布。若x1,x2，…，xm和Y1,Y2，…，Yn分别是從正态總體N(μ,σ）和N(v，σ），中抽出的獨立簡單樣本，以S娝和S娤分别記為諸xi和諸Yi的樣本方差，則方差比統計量S娝/S娤服從自由度（m-1,n-1）的中心F分布。中心和非中心的F分布在方差分析理論中有重要應用。
