抛物线方程

定义

抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e=1时为抛物线，当01时为双曲线。

方程

抛物线的标准方程有四种形式，参数p的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中P(x0,y0)为抛物线上任一点。

标准方程

y^2=2px（p>0）

y^2=-2px（p>0）

x^2=2py（p>0）

x^2=-2py（p>0）

图形

范围

x≥0，y

 R

x≤0，y

 R

y≥0，x

 R

y≤0，x

 R

对称轴

X轴

y轴

顶点坐标

原点O(0,0)

焦点坐标

（

 ，0）

（

 ，0）

（0，

 ）

（0，

 ）

准线方程

离心率

e = 1

焦半径

对于抛物线y^2=2px(p≠0)上的点的坐标可设为( ,y0)，以简化运算。

抛物线的焦点弦：设过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2），直线OA与OB的斜率分别为k1,k2，直线l的倾斜角为α，则有y1y2=-p^2，x1x2= ，k1k2=-4，|FA|= ,|FB|= ,|AB|=x1+x2+p。

几何性质

方程的具体表达式为y=ax^2+bx+c

⑴a 0

⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点（顶点）：（ ， ）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，图象与x轴交于两点：

（ ，0）和（ ，0）；

Δ=0，图象与x轴交于一点：

（ ，0）；

Δ<0，图象与x轴无交点；

(5)对称轴(顶点)在y 轴 左侧时 , a ,b 同号 ,对称轴 (顶点 ) 在 y 轴右侧时,a 、b 异号；对称轴(顶点)在y轴上时, b=0，抛物线的顶点在原点时, b=c=0。

(6)当x=0时，可通过与y轴交点判断c值，即若抛物线交y轴为正半轴，则c>0；若抛物线交y轴为负半轴，则c<0 。