一般
设三角形三边为a,b,c则
a+b>c,a>c-b
b+c>a,b>a-c
a+c>b,c>b-a
如图1，任意△ABC，求证AB+AC>BC。
证明：在BA的延长线上取AD=AC
则∠D=∠ACD（等边对等角）
∵∠BCD>∠ACD
∴∠BCD>∠D
∴BD>BC（大角对大边）
∵BD=AB+AD=AB+AC
∴AB+AC>BC
三角形的关系
一般三角形
设三角形三边为AC,BC,AB,
点D垂直于AB，为三角形ABC的高
如图2，利用勾股定理，得
AC2-AD2=CD2① CB2-BD2=CD2 ②
①=②
AC2-AD2 =CB2-BD2
因为 AD+BD=AB
所以 AC2-(AB-BD)2=CB2-BD2 ③
同样也有AC2-AD2=CB2-（AB-AD)2 ④
③化简得：(AB2+CB2-AC2)÷2AB=BD
④化简得：(AB2-CB2+AC2)÷2AB=AD
特殊
直角三角形
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。 性质5:如图3，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1） AD^2=BD·DC，
（2） AB^2=BD·BC ， 射影定理图
（3） AC^2=CD·BC 。 等积式 （4）ABXAC=ADXBC (可用面积来证明） (5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,
(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)
等腰直角三角形三边之比：1:1:根号二
