定理定义
通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和。
积分形式
真空中高斯定律积分形式为：
验证推导
高斯定理也称为高斯公式，或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。nn在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
定理推广
求解电场强度E可用库仑定律,也可用高斯定理。利用库仑定律连同场强叠加原理对点电荷、点电荷系的场强一般都可求解;对连续分布带电体系的场强原则上也可求解，但对具体问题必须知道电荷的连续分布函数才能求解。利用高斯定理求解场强有一定局限性,一般只能对具有某种对称性分布的场强可求解。
利用高斯定理求解场强必须遵从两个步骤:其一,必须对所涉及的带电体系产生的场强进行定性分析,明确场强方向和大小的分布规律;其二,依据场强分布规律,判断能否用高斯定理求解,能则构建适当的高斯面进行求解。
构建高斯面必须满足两个条件:其一,所求场强之点必须在高斯面上;其二,高斯面上各点或某部分各点场强大小相等。在此基础上,高斯面的形状大小原则上可任意选取,使待求场强E都可移到高斯定理的积分号外而求出所涉及的带电体系在待求点产生的场强。当然,在求解具体问题时应选择使求解最简便的高斯面。
构建体系高斯面解题
为叙述方便,把包围整个带电体系的高斯面称为体系高斯面。例如,求解无限长均匀带电细直捧,无限大均匀带电平面和均匀带电球面外的场强时,经分析可知这些带电体系所产生的场强分布各自都具有一定的对称性,可构建形状适当的体系高斯面求解。
对无限长均匀带电细直棒,可构建以此细棒为轴线,过所求场强之点的无限长圆柱面为高斯面。对无限大均匀带电平面,可在其两侧各作一个与其平行的无限大平面,构成高斯面。对均匀带电球面,可构建一个与带电球面同心并过待求场强点的球面作高斯面。利用这些高斯面可分别求出相应带电体系产生的合场强 。
构建局部高斯面解题
为区别于体系高斯面,可把只包围带电体系中部分电荷的高斯面称为局部高斯面。既然带电体系周围空间各点的场强都是带电体系各电荷产生的合场强,利用体系高斯面能正确求解,那利用局部高斯面也一定能正确求解。在构建高斯面必须满足的两个条件的前提下,局部高斯面的大小形状还有一定任意性,但应该构建对于解题最简便的高斯面。例如,求解均匀带电球面产生的场强,可构建以带电球面的球心为顶点,母线沿球的半径,且大于球的半径,底面是以母线为半径的球面的一部份,并过求场强之点的圆锥形高斯面。
求解无限大均匀带电平面的场强,可构建两端面平行于带电平面,并各在带电平面一侧的垂直于带电平面的圆柱面作高斯面。求解其它带电体系的问题,也可以此类似作局部高斯面求解。有些问题的场强分布,整体而言无求解所必需的规律性,但局部看来则有之。对这样的问题,就只能构建局部高斯面求解。例如,要求解外表面不规则的金属体静电平衡时表面一点的场强,就只能构建垂直带电体表面的柱面高斯面,且柱面必须足够短,两端面必须足够小,才能正确求解。
求解多个带电体系产生的场强问题
由多个带电体系产生的电场,其场强分布具有某种对称性时,一般可用高斯定理求解。多个带电体系都在周围空间产生电场,所构建的任一高斯面上的实际场强都是所有带电体系产生的场强的矢量和。但应该注意,解题中定性分析场强分布时,涉及到哪些带电体系,所求出的场强就只是这些带电体系产生的合场强,不包括未涉及的带电体系所产生的场强。
相关故事
张五常谈高斯定律
高斯定律有几个版本。一九五九年首先出现的是，资产的权利界定是市场运作的先决条件。这是说，不是私产不能在市场成交。这当然对，其贡献是指出传统的交易定律（Theorem of Exchange）漠视了必须的产权局限条件。浅而重要，可惜对解释世事不关心的视作等闲。
今天家喻户晓的高斯定律，出自一九六○年的鸿文，有两三个版本，其中以牛吃麦为例而推出来的“不变定律”（Invariance Theorem）老生常谈，应该是上述专家说是错的那个定律了。
有两块相连的土地，其一用作种麦，其二用作养牛。牛群跑到麦地吃麦，对麦损害的负值高于牛增重的正值，出现了私人成本与社会成本的分离，政府非管不可。高斯定律说，如果麦地与牛地有明确的权利划分，交易费用是零，那么麦地与牛地的权利谁属都会有相同的土地使用效果，不变也。
这是说，如果种麦的地主有权不准牛群吃麦，养牛的大可补偿牛对麦的损害，或租用麦地，栏杆建造的位置，是边际上牛吃麦的增值与麦损害的负值相等。
一九六二年读到这养牛与种麦的例子时，几位同学和我都知道不同的权利界定，收入或财富的分配不同，如果双方的品味有别，栏杆的位置会变。这是说，权利界定给那一方，该方的收入较高，另一方的收入较低，收入的转变会影响消费，大家品味不同，一方喜欢多吃牛，另一方喜欢多吃麦，栏杆的位置会因为土地的权利界定谁属有变而变。
当年我是例子还没有读完就想到上述的收入分配不同会引起栏杆位置可变的副作用，但认为问题不重要：高斯大可假设收入或财富分配的副作用不存在。跟着又想，如果不让高斯作这假设，他可以方便地把定律改为：只要权利界定清楚，让市场顺利运作，土地的总价值会按养牛者与种麦者的消费品味而达至最高点。
后来与高斯畅谈他一九六○的鸿文，提出他应该为收入分配不同会引起的副作用下个脚注，殊不知他响应：“不是很清楚吗？不言自明是不需要下脚注的。”Self-evident是他当时选用的形容词。我坐在那里想，他是说蠢人不读算了，而我自己差不多不及格，很有点尴尬。
再后来伦敦经济学院的一位教授不明高斯定律的主旨，在收入分配的副作用上大做文章，见笑天下。至于最近香港的经济专家说的有不少数学大文从收入分配的角度证明高斯定律是错了，我没有跟进。不容易相信这self-evident的话题要大兴数学的土木，如果是真的话，经济学的发展岂不令人悲从中来哉？
这里要说的，是问题有重要与不重要之分。判断重要性，主要讲感受，与智商的高低没有多大关系。昔日的马尔萨斯，近代的舒尔兹，现代的诺斯，分析能力不见得有过人之处，只凭对重要性的感受好就见经传了。一九七三年嘉素对我说，当世的所有经济学者中，以重要性的判断论英雄，高斯可能无敌天下。我早就知道，所以在芝大的两年频频与高斯研讨，谈的主要不是他的文章，而是要知道为什么他会这样想或那样想。高斯倾囊相授。
判断重要性的第一个启蒙老师是赫舒拉发。我提出问题，他认为重要才作答，否则忙顾左右而言他。第二个是艾智仁，他对任何文章一笑我知道认为是胡说，严肃起来我知道要深入地拜读。跟着是与高斯、佛利民、戴维德、巴赛尔等人的多番研讨了。
在芝大遇到夏保加，说我的文章有趣味。我问：“不重要吗？”他响应：“何谓重要只有天晓得，说有趣是最高的评价了。”再后来遇到W. Meckling，说有趣的观察是我的一技之长。我问：“只这么多吗？”他答：“聪明易找，品味难求，千万不要放弃你的品味路向。”说实话，我想不出自己的品味好在何处，很有点粗俗，但喜欢过瘾一下，而喜恶之分是明确而强烈的。天生使然吧。
我一九八二年发表的《中国会走向“资本主义”的道路吗？》就含意着这定律有严重的错，但要到一九九八的一篇演辞才清楚地写出来，引起反响。我指出该定律用上“清楚的权利界定”（即私有产权）与「交易费用是零」这两个假设，互相加不起来！毫无交易费用，资源的“完美”使用是不需要市场的。权利的界定是一种制度，市场的安排也是一种制度，而二者都是为了减低交易或社会费用而出现的。没有这些费用，中央分配可以尽善尽美，不需要有私产，也不需要有市场。从个人的品味看，这才是高斯定律需要加的一个重要脚注。
发展简史
由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理 。
与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
特别要强调两点： 1.关于电场线的方向的规定：电场线上每一点的切线方向就是该点电场的方向。2.关于电场线的疏密的规定：电场线在某处的疏密要反映电场强度的大小，即在电场中通过某一点的电场线的数密度与该点电场强度的大小呈正相关， 即： E= dN/ds，其中ds是在电场中的某一点取一个通过该点的且与电场线垂直的微分面，dN就是穿过该面ds的电场线的根数。
高斯定理源于库仑定律,依赖于场强叠加原理,只有当电场线密度等于场强大小时场线通量才能与场强通量等同,并统一遵从高斯定理。高斯面上的实际场强是其内外所有电荷产生的场强叠加而成的合场强。但利用高斯面所求得的场强则仅仅是分析高斯面上场强分布时所涉及的电荷在高斯面上产生的合场强,而不包含未涉及的电荷所产生的场强。
定理意义
高斯第一个假设，是一般人都认为很自然的——畜牧者并没有权利让牛群吃麦。换言之，种麦的收成是耕耘者的私有产权。在这个情形下，牛群吃麦是可以的，但耕耘者却有权收取费用。若畜牧者认为所要付出的费用（价钱）是有所不值，他就会约束牛群的行为，例如用栏杆将牛群隔开。但栏杆应筑在那里呢？答案是，并不一定在两块地的交界。
假若牛群吃麦所得的增值，在边际上，是大过麦的损失，那么只要是市场的交易费用不太高，畜牧者与耕耘者就可互定会约，吃麦多少以市价而定。耕耘者得到市价的补偿，就乐意接受麦的损失。但若牛群吃麦的增值，在边际上是少过麦的损失，那么畜牧者就不愿意付出牛群增加吃麦的市价。栏杆的位置（或约束牛群的程度），是以吃麦的市价而定。那就是说，在互定会约的情况下，栏杆的位置是会筑在多吃一点麦对牛群的增值，跟麦的边际损害市值相等。边际上的利益等于边际上的损害，两块地的生产总净值就会是最高的。
高斯跟着作一个相反的假设，这就是牛群吃麦的权利是在畜牧者的手上。那就是说，虽然耕耘者可在自己的地上种麦，但牛吃麦的权利却是畜牧者的私产。在这个假设下，牛吃麦的份量会否比第一个假设有所增加呢？高斯的答案是不会的。这是因为虽然畜牧者有权让牛群免费吃麦，但耕耘者可将麦的市价，付给畜牧者，使畜牧者能有利地在边际上约束牛群的行为。
那就是说，若牛吃麦的边际增值是大过麦的市值损害，那么耕耘者就不可能以市价阻止牛吃麦；既然在边际上麦的损失是少过牛的增值，让牛多吃点麦是会增加社会生产的总净值。但若在边际上吃麦的增值是少过麦的损害，则耕耘者大可以以损失的市值，付给畜牧者，要后者去减少牛对麦的损害。畜牧者既然见收了一点钱而在边际上约束牛群的行为，他的收入是有所增加，当然也乐意遵命。在互定合约下，栏杆位置的选择，恰恰跟第一个相反的权利假设相同——在边际上，牛群吃麦的增值跟麦的损害相等。两块地的生产总净值也会是最高的。
高斯定律的主旨，就是不管权利谁属，只要是清楚地界定是私有，市场的运作能力便会应运而起；权利的买卖者互定合约，使资源的使用达到最高的生产总净值。这总值的衡量不是由政府随意加减的，而是依消费者的喜好、所肯付出的代价而表达出来。当然，在以上畜牧和耕耘的例子中——或任何资源使用的例子——权利谁属是会影响财富的分配，而分配不同可能对资源的使用有间接的效果。但单就在运用资源为社会作出最大收益的问题上，高斯定律是无懈可击的。
在高斯的“社会耗费问题”一文内，高斯定律只不过是一个小贡献。远为重要的贡献就是高斯将该定律引伸到有交易费用（非生产费用）的情况上，而从这引伸的演变，更能令我们明白计划经济和国有制的经济困难。要将交易费用的演变在报章上向读者解释，是极其不易，因为这题目实在是湛深。但我仍可用些较浅的例子来让读者稍知大概。
假若在有清楚私产界定的情况下，畜牧者跟耕耘者在讨价还价上发生了问题，或者在牛群吃麦多少的量度上发生了纠纷，那么以市价买卖的普通合约就难以达成协议。但既然资源运用的利害是私人的事，他们双方大可利用一些交易费用较低而生产效率也较差的合约方式成交，例如，他们可以商议租用麦地的面积而不计麦的数量损失；或者他们也可以合股经营，以分账的方法处理。
让我们假设政府将以上提及的两块地收归国有，用专家作决策，情况又会怎样呢？第一、没有市价的存在，牛群的增值多少或麦的损失多少用甚么标准来决定呢？专家可不能代表吃肉或吃麦的人的口味。第二、假若要筑栏杆，位置从何而定？专家选错了位置会受到甚么责罚？而有甚么准则可以断定栏杆的位置是对了或是错了的？第三、若建造栏杆的费用高，专家要用甚么准则来衡量这费用是过高或是不合算？第四、畜牧者及耕耘者的劳力要用甚么方法奖励？用牛？用麦？抑或用其他非物质的方法？奖励的多少又由谁来作决定？第五、专家的劳力又要怎样计算才能保障生产的增加？我们又要用甚么方法去分别“专家”与“非专家”？
在这篇文章里我引用高斯的畜牧及耕耘的例子的主要原因，就是因为牛群是会走动，不容易控制。这一个特征加强了界定及保障私有产权的困难，也增加了讨价还价及议定合约的费用。我故意采用一个在私产下交易（非生产）费用较大的例子，去强调私产的弱点或困难。假若牛群是像蔬菜一样，不会走动，交易费用将会较少，私产较易施行，但决定资源的使用及财富分配的经济问题仍是驱之不去的。
在国有制下，这些经济问题同样存在，但因为制度不同，解决的方法有异。经济进展的快慢，就是在乎哪一种方法可以在生产上取得较高的总净值。引伸到交易或非生产费用的问题上，这总净值当然也要除净这些费用的。就是在畜牧及耕耘的例子中——一个私产不易施行的例子——我们也可见到国有制下要提高总净值的困难，是要比私产的困难大得多。这是因为在不同制度下的交易（非生产）费用虽然性质不同，但这些费用在生产价值上的比重，共产是要比私产的高得多。
高斯定律最大的贡献，是提醒我们在实践上分析经济制度时一定要考虑到那些可观的交易或非生产的费用。我们20多年来的研究，实证资料堆积如山，所得到一个主要结果，就是只有在私产制度下，人类才会为自利的原故设法将这些费用的比重尽量减低。这是从高斯的理论所演变出来的对国有制的最大贡献。
