信号與系統

基本概況

時間函數x(t)及自變量代表時間的離散序列x(n)是信号的時域的基本表示方式。此外，無論是連續信号還是離散序列，都可以在頻域中用它的傅裡葉變換（即頻譜函數）表示，也可以在“複頻域”中用相應的拉普拉斯變換或z變換表示。與此對應，連續或離散系統的特性可在時域中用微分方程或差分方程描述，也可分别用沖激響應h(t)或h（n）描述；或頻域中用頻率響應H(jω)、H（ejω）或傳遞函數H(s)、H(z)描述。

研究在給定的激勵下通過系統的響應，可以在時域下用解微分方程或差分方程的方法，或通過激勵信号與沖激響應的卷積進行，也可以在頻域下，分别将連續信号或離散序列的傅裡葉變換、拉普拉斯變換或z變換與系統的頻率響應或傳遞函數相乘，得出響應的傅裡葉變換、拉普拉斯變換或z變換，再進行反變換。就得到了以時間函數或離散序列表示的響應。

信号與系統是通信和電子信息類專業的核心基礎課，其中的概念和分析方法廣泛應用于通信、自動控制、信号與信息處理、電路與系統等領域。

本課程從概念上可以區分為信号分解和系統分析兩部分，但二者又是密切相關的，根據連續信号分解為不同的基本信号，對應推導出線性系統的分析方法分别為：時域分析、頻域分析和複頻域分析；離散信号分解和系統分析也是類似的過程。

本課程采用先連續後離散的布局安排知識，可先集中精力學好連續信号與系統分析的内容，再通過類比理解離散信号與系統分析的概念。狀态分析方法也結合兩大塊給出，從而建立完整的信号與系統的概念。

信号與系統課程研究信号與系統理論的基本概念和基本分析方法。初步認識如何建立信号與系統的數學模型，經适當的數學分析求解，對所得結果給以物理解釋、賦予物理意義。

課程範圍限定于确定性信号（非随機信号）經線性、時不變系統傳輸與處理的基本理論。本課程涉及的數學内容包括微分方程、差分方程、級數、複變函數、線性代數等。

本課程與先修課程"電路分析基礎"聯系密切，電路分析基礎課程是從電路分析的角度研究問題，本課程則從系統的觀點進行分析。

本課程的主要内容包括緒論、連續系統的時域分析、傅裡葉變換、拉普拉斯變換、連續時間系統的s域分析、離散時間系統的時域分析、z變換、離散時間系統的z域分析等。

書名信号與系統(工業和信息化普通高等教育“十二五”規劃教材立項項目)

叢 書 名21世紀高等院校電氣工程與自動化規劃教材

标準書号ISBN 978-7-115-28484-6

作者劉百芬 張利華 主編

責任編輯劉博

開本16 開

印張20.25

字數506 千字

頁數314 頁

裝幀平裝

版次第1版第1次

初版時間2012年6月

本 印 次2012年6月

首 印 數-- 冊

定價42.00 元

内容提要

本着易于教學、便于自學的宗旨，本書深入淺出地介紹了信号與系統分析的基本理論和方法。采用連續和離散并行，先時域後變換域分析，從輸入/輸出描述到狀态變量描述的順序和結構。在内容上注重體現經典與現代的傳承、連續與離散的類比、三種變換的邏輯聯系，注重信号與系統理論和方法的具體應用，并反映信号與系統的新理論和新技術。強調基本理論、基本概念和基本方法，注重難點和重點的解釋與分析。每章配有小結和豐富精煉的例題和習題，書後附有部分習題參考答案。

本書可作為電子信息、通信、自動控制、電氣工程、計算機等專業“信号與系統”課程的本科教材，也可供從事相關領域工作的教師、科技工作者自學參考使用，并可作為相關專業“信号與系統”課程的研究生入學考試參考書。

目錄

第1章信号與系統概論1

1.1引言1

1.2信号的概念1

1.2.1信号的定義與描述1

1.2.2信号的分類2

1.3典型信号及其特性5

1.3.1連續時間信号5

1.3.2離散時間信号14

1.4信号的基本運算16

1.4.1連續時間信号的基本運算16

1.4.2離散時間信号的基本運算18

1.5信号的分解20

1.5.1直流分量與交流分量20

1.5.2偶分量與奇分量20

1.5.3脈沖分量線性組合21

1.5.4實部分量與虛部分量22

1.6系統的概念22

1.6.1系統的定義22

1.6.2系統的描述23

1.6.3系統的分類24

1.7信号與系統分析概述28

1.8本章小結29

習題30

第2章連續時間系統的時域分析35

2.1引言35

2.2連續時間系統的描述及響應35

2.2.1連續時間LTI系統的數學模型35

2.2.2常系數微分方程的求解36

2.2.3初始條件的确定38

2.3零輸入響應和零狀态響應43

2.3.1零輸入響應43

2.3.2零狀态響應44

2.4沖激響應和階躍響應46

2.4.1沖激響應47

2.4.2階躍響應49

2.5卷積積分及其應用51

2.5.1卷積的計算51

2.5.2卷積的性質53

2.5.3卷積分析法57

2.6單位沖激響應表示的系統特性58

2.6.1因果性59

2.6.2穩定性59

2.7本章小結60

習題61

第3章離散時間系統的時域分析67

3.1引言67

3.2離散時間系統的描述及響應67

3.2.1離散時間系統的數學模型67

3.2.2常系數差分方程的求解69

3.3零輸入響應和零狀态響應72

3.3.1零輸入響應72

3.3.2零狀态響應74

3.4單位樣值響應和單位階躍響應76

3.4.1單位樣值響應76

3.4.2單位階躍響應78

3.5卷積和及其應用80

3.5.1卷積和的定義81

3.5.2卷積和的性質82

3.5.3卷積和的計算83

3.5.4卷積和分析法88

3.6單位樣值響應表示的系統特性90

3.6.1因果性90

3.6.2穩定性90

3.7本章小結91

習題91

第4章連續時間信号與系統的頻域分析97

4.1引言97

4.2信号的正交分解97

4.2.1正交矢量97

4.2.2正交函數集98

4.2.3信号的正交分解99

4.3周期信号的頻譜——傅裡葉級數100

4.3.1周期信号的傅裡葉級數100

4.3.2周期信号的頻譜110

4.3.3常見周期信号的頻譜114

4.4傅裡葉級數的性質116

4.5非周期信号的頻譜——傅裡葉變換119

4.5.1非周期信号的頻譜函數119

4.5.2傅裡葉變換存在的條件122

4.5.3常見非周期信号的頻譜123

4.6傅裡葉變換的性質128

4.7周期信号的傅裡葉變換141

4.7.1傅裡葉級數與傅裡葉變換的關系141

4.7.2典型周期信号的傅裡葉變換142

4.7.3一般周期函數的傅裡葉變換144

4.8信号的功率頻譜與能量頻譜146

4.8.1功率頻譜146

4.8.2能量頻譜148

4.9連續時間系統的頻域分析149

4.9.1連續時間系統的頻率響應149

4.9.2非周期信号激勵下的系統響應150

4.9.3周期信号激勵下的系統響應151

4.10本章小結154

習題155

第5章離散時間信号與系統的頻域分析163

5.1引言163

5.2信号的抽樣163

5.2.1連續時間信号的抽樣163

5.2.2離散時間信号的抽樣169

5.3離散非周期信号的頻譜——離散時間傅裡葉變換171

5.3.1離散時間傅裡葉變換171

5.3.2離散時間傅裡葉變換的性質173

5.4離散周期信号的頻譜——離散傅裡葉級數175

5.4.1離散傅裡葉級數175

5.4.2離散傅裡葉級數的性質176

5.5離散時間LTI系統的頻域分析177

5.5.1離散時間LTI系統的頻率響應177

5.5.2離散非周期序列通過系統的頻域分析178

5.5.3離散周期序列通過系統響應的頻域分析179

5.6本章小結181

習題181

第6章連續時間信号與系統的複頻域分析183

6.1引言183

6.2拉普拉斯變換183

6.2.1從傅裡葉變換到拉普拉斯變換183

6.2.2拉普拉斯變換的收斂域184

6.2.3常見信号的拉普拉斯變換185

6.3拉普拉斯變換的性質187

6.4拉普拉斯反變換194

6.4.1部分分式法194

6.4.2圍線積分法198

6.5連續時間LTI系統的複頻域分析199

6.5.1連續時間LTI系統的系統函數199

6.5.2微分方程的複頻域求解200

6.5.3電路系統的複頻域分析202

6.6連續時間LTI系統的系統函數與系統特性205

6.6.1系統函數的零極點分布與時域特性205

6.6.2系統函數零極點分布與系統穩定性206

6.6.3系統函數零極點分布與頻率特性207

6.7連續時間系統的模拟208

6.7.1連續系統的連接208

6.7.2連續系統的模拟209

6.8本章小結212

習題212

第7章離散時間信号與系統的z域分析217

7.1引言217

7.2變換217

7.2.1變換的定義217

7.2.2變換的收斂域218

7.2.3常見信号的變換220

7.3變換的性質221

7.4反變換226

7.4.1幂級數展開法226

7.4.2部分分式法227

7.5離散時間系統的域分析230

7.5.1離散時間系統的系統函數230

7.5.2差分方程的域求解231

7.6離散時間系統的系統函數與系統特性232

7.6.1系統函數零極點分布與時域特性232

7.6.2系統函數零極點分布與系統穩定性233

7.6.3系統函數零極點分布與頻率特性234

7.7離散時間系統的模拟235

7.7.1離散時間系統的連接235

7.7.2離散時間系統的模拟236

7.8本章小結240

習題241

第8章信号與系統理論的應用246

8.1引言246

8.2信号的無失真傳輸246

8.2.1無失真傳輸的時域條件246

8.2.2無失真傳輸的頻域條件247

8.3調制與解調248

8.3.1正弦幅度調制248

8.3.2正弦幅度解調249

8.4多路複用250

8.4.1頻分複用251

8.4.2時分複用252

8.5信号濾波253

8.5.1濾波和濾波器253

8.5.2理想濾波器254

8.5.3模拟濾波器和數字濾波器256

8.6本章小結260

習題260

第9章系統的狀态變量分析263

9.1引言263

9.2系統的狀态變量和狀态方程263

9.2.1系統狀态描述的基本概念263

9.2.2動态方程的一般形式265

9.3狀态方程的建立266

9.3.1連續時間系統狀态方程的建立266

9.3.2離散時間系統狀态方程的建立268

9.4連續時間系統狀态方程的求解270

9.4.1連續時間系統狀态方程的時間域求解271

9.4.2連續時間系統狀态方程的s域求解273

9.5離散時間系統狀态方程的求解276

9.5.1離散時間系統狀态方程的時間域求解276

9.5.2離散時間系統狀态方程的域求解278

9.6系統的可控性與可觀測性280

9.6.1系統的可控性280

9.6.2系統的可觀測性282

9.6.3單輸入單輸出系統可控與可觀性的約當規範型判據283

9.7本章小結285

習題285

附錄A常見信号的卷積289

附錄B常見非周期信号的傅裡葉變換290

附錄C常見信号的拉普拉斯變換294

附錄D常見序列的z變換295

部分習題答案296

參考文獻314

學科構成

傅裡葉變換

傅裡葉變換，以及後面得拉普拉斯變換和Z變換的引入，體現一種重要的

思維方式———改變觀察問題的參照系。

對同一個物理系統，采用不同的參照系來進行觀察，往往是解決某些在某一坐标系中無法或難以解決的問題的思維方法，而變換就是一種比較有效的實現手段。

例如變化無規律的音頻信号可以通過頻譜的構成加以限定，從而為音頻信号的應用奠定了基礎。變換的兩個基本因素是基本概念和基本規律在新坐标系中的原象與象的關系，在數學上與常見的方程組，集合論以及某些随機過程的處理技術是相同的———高等代數中的矩陣分析。通過能量的限制，靈活應用無窮大量和無窮小量這些非現實世界的量，來有效地解決實際問題。

研究方法

對一個新的研究領域，人們在對問題的分析時，由于對問題認識的有限，常常從一般性的問題開始。若對一般性的問題無法得到有普遍價值的結論，可以從具體問題入手，但最後還需要回到一般問題。若還是無法得到一般性問題的處理方法，則整個研究問題的思路和方式可能出了問題，往往需要另辟蹊徑。ATM網絡技術的失敗正說明了這一點。用線性變換去處理非線性問題。

實際的物理系統中非線性問題也有時采用線性變換的技術來處理。例如，小波變換應用于圖像的壓縮編碼當中，小波變換本身是一個線性變換，而圖像信源的統計特性并不是一個線性關系。

這是用線性去逼近非線性，這種方式存在一個複雜性的問題。例如在分組交換網絡中QoS分組調度，一般化理想化的方式是基于服務曲線的調度策略，但此時服務曲線往往不是一條直線。如果用于逼近的折線大于兩條時，計算複雜度太高以緻無法應用。除了這裡所講的傅裡葉變換外，本課程中還有其他變換，如拉普拉斯變換和Z變換都是線性變換。因此，本課程更嚴格的名稱應該是“信号與線性系統”。

線性系統分析

思維方式

典型的綜合而非演繹的分析法。

研究方法

線性時不變系統的本質是系統在空間和時間兩個方面呈線性關系，實際上是一個二維空間上滿足線性關系，在數學上完全可以應用高等代數中的線性空間的分析方法來讨論。

卷積

思維方式

借理想化的數學手段将難以确定和描述的問題得以定性得限制。

研究方法

任意一個時間連續信号都借助沖激信号來描述。

應用舉例

信号與系統問題無處不在，信息科學已滲透到所有現代自然科學和社會科學領域。雖然，在各個學科中的信号與系統的物理本質可能大不相同，但他們都有兩個非常基本的共同點。信号是單個或多個獨立變量的函數，而且一般來說，含有關于某種現象變化過程和特征的信息，而系統則對特定信号響應而産生另外一些信号。一個電路中的電壓和電流作為時間的函數，是信号的一個例子，而這一電路本身則是系統的一個例子，在這種情況下，系統對所施加的電壓和電流産生響應。

另一個例子，當駕駛員壓下加速踏闆時，汽車以增加車速為響應，在這種情況下，系統就是汽車，加速踏闆上的壓力則是系統的輸入，汽車的速度是響應。一個心電圖計算機自動診斷程序，也可看做一個系統，它以數字化的心電圖作為其輸入，而産生如心率這樣的一些參數的估計值作為系統的輸出。一架照相機也是一個系統，它接收來自不同光源和被口标反射的光而産生出一幅照片。

在出現信号與系統的許多場合，可以有各種各樣的研究課題和論題。有時，我們面對的是一個特定的系統，‘而感興趣的是要詳細地表征這一系統，以搞清楚它如何對各種輸入作出響應。一個例子就是已有悠久曆史的關于人類聽覺系統的研究工作。

另一個例子是對某個特定地區的經濟系統的認識和描述的研究，以便能更好的預測對諸如農作物兼現等潛在的或者是不可預料的輸入會産生什麼響應。

在另一些信号和系統分析的場合，我們的興趣不在于分析現有的系統，而在于系統的設計問題，以便用它們以各種特定方式來處理信一号。極為普通的例子。例如經濟預測系統是代表這種情況的一個，設有一組像證券市場平均價格一類的經濟時序列的記錄，把這種記錄看做信号，要是能根據過去記錄去預測将來的狀态顯然是有用的。

許多這樣的系統已經精心研制成功，這些系統一般是計算機程序形式的，詳細分析，還可進行其他類型的經濟預報。用這些系統可以求得證券市場平均價格的雖則大多數這樣的信号并不是全部可預測的，但有趣而重要的事實是，根據這些信号的許多過去的記錄，換句話說，至少它們可近似地被外推。

第二種常見的應用，是恢複由于某些原因而惡化了的信号。語音通信時，就經常出現這種情況。例如，在強背景噪聲條件下進行語音通信會因駕駛艙的高背景噪聲電平而惡化。在這種情況和其他類似情況下，設計各種系統，以保留需要的信号（現在是駕駛員的聲音）而排除（至少近似地排除）不需要的信号（在此是噪聲）是有可能的。

從已惡化信一号中恢複原信号的另一個成功的例子，是老唱片的修複系統。在錄音時，采用一個根據輸入信号而在唱片上刻出紋路形的錄音系統，這一輸入信号就是藝術家的聲音早期的錄音，一般是采用角形機械錄音筒錄制的，而這種系統會在唱片上引入嚴重的失真。若能修複一些老唱片，使之達到符合現代錄音技術的質量标準:，是很有價值的。如果用一個适當設計的信号處理系統，‘就有可能大大改善老唱片的質量。