牛吃草:牛頓問題-中文百科頻道

例子

例1

牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？

分析與解：這類題難就難在牧場上草的數量每天都在發生變化，我們要想辦法從變化當中找到不變的量。總草量可以分為牧場上原有的草和新生長出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數量相同，即每天新長出的草是不變的。下面，就要設法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個不變量。

設1頭牛一天吃的草為1份。那麼，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，後者的總草量是150份，前者是原有的草加20天新長出的草，後者是原有的草加10天新長出的草。

200－150=50（份），20—10=10（天），

說明牧場10天長草50份，1天長草5份。也就是說，5頭牛專吃新長出來的草剛好吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草。由此得出，牧場上原有草

（10—5）×20=100（份）或（15—5）×10=100（份）。

已經知道原有草100份，每天新長出草5份。當有25頭牛時，其中的5頭專吃新長出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100÷20=5（天）。

所以，這片草地可供25頭牛吃5天。

在例1的解法中要注意三點：

（1）每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數的差計算出來的。

（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據吃的天數可以計算出原有的草量。

（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其餘的牛吃原有的草，根據原有的草量可以計算出能吃幾天。

例2

一個水池裝一個進水管和三個同樣的出水管。先打開進水管，等水池存了一些水後，再打開出水管。如果同時打開2個出水管，那麼8分鐘後水池空；如果同時打開3個出水管，那麼5分鐘後水池空。那麼出水管比進水管晚開多少分鐘？

分析：雖然表面上沒有“牛吃草”，但因為總的水量在均勻變化，“水”相當于“草”，進水管進的水相當于新長出的草，出水管排的水相當于牛在吃草，所以也是牛吃草問題，解法自然也與例1相似。

出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水管打開之前原有的水量，另一部分是開始排水至排空這段時間内進水管放進的水。因為原有的水量是不變的，所以可以從比較兩次排水所用的時間及排水量入手解決問題。

設出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個出水管8分鐘所排的水是2×8=16（份），3個出水管5分鐘所排的水是3×5=15（份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時間内的進水量。兩者相減就是在8-5=3（分）内所放進的水量，所以每分鐘的進水量是：（16-15）÷3=1/3（份）

假設讓1/3個出水管專門排進水管新近的水，兩相抵消，其餘的出水管排原有的水，可以求出原有水的水量為：

（2-1/3）×8=40/3（份）或（3-1/3）×5=40/3（份）。

解：設出水管每分鐘排出的水為1份。每分鐘進水量：

（2×8-3×5）÷（8-5）=1/3（份），進水管提前開了（2-1/3）×8÷1/3=40（份）。

答：出水管比進水管晚開40分鐘。

例3

由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？

分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。

設1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10頭牛同時在吃草，所以牧場原有草（20+10）×5=150（份）。

由150÷10=15知，牧場原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。

例4

自動扶梯以均勻速度由下往上行駛着，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？

分析：與例3比較，“總的草量”變成了“扶梯的梯級總數”，“草”變成了“梯級”，“牛”變成了“速度”，也可以看成牛吃草問題。

上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5分鐘走了20×5=100（級），女孩6分鐘走了15×6=90（級），女孩比男孩少走了100－90=10（級），多用了6－5=1（分），說明電梯1分鐘走10級。由男孩5分鐘到達樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）×5=150（級）。

解：自動扶梯每分鐘走

（20×5－15×6）÷（6—5）=10（級），

自動扶梯共有（20+10）×5=150（級）。

答：扶梯共有150級。

例5

某車站在檢票前若幹分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那麼需多少分鐘？

分析與解：等候檢票的旅客人數在變化，“旅客”相當于“草”，“檢票口”相當于“牛”，可以用牛吃草問題的解法求解。

旅客總數由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經在排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票後新來的旅客。

設1個檢票口1分鐘檢票的人數為1份。因為4個檢票口30分鐘通過（4×30）份，5個檢票口20分鐘通過（5×20）份，說明在（30-20）分鐘内新來旅客（4×30-5×20）份，所以每分鐘新來旅客（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。

假設讓2個檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其餘的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。

同時打開7個檢票口時，讓2個檢票口專門通過新來的旅客，其餘的檢票口通過原來的旅客，需要60÷（7-2）=12（分）。

例6

有三塊草地，面積分别為5，6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？

分析與解：例1是在同一塊草地上，例6是三塊面積不同的草地。為了解決這個問題，隻需将三塊草地的面積統一起來。

[5，6，8]=120。

因為5公頃草地可供11頭牛吃10天，120÷5=24，所以120公頃草地可供11×24=264（頭）牛吃10天。

因為6公頃草地可供12頭牛吃14天，120÷6=20，所以120公頃草地可供12×20=240（頭）牛吃14天。

120÷8=15，問題變為：120公頃草地可供19×15=285（頭）牛吃幾天？

因為草地面積相同，可忽略具體公頃數，所以原題可變為：

“一塊勻速生長的草地，可供264頭牛吃10天，或供240頭牛吃14天，那麼可供285頭牛吃幾天？”

這與例1完全一樣。設1頭牛1天吃的草為1份。每天新長出的草有（240×14－264×10）÷（14－10）=180（份）。草地原有草（264—180）×10=840（份）。可供285頭牛吃840÷（285—180）=8（天）。

所以，第三塊草地可供19頭牛吃8天。

例7

由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天一均勻的速度減少。經計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或供16頭牛吃6天。那n麼可供11頭牛吃幾天？（）nA.12B.10C.8D.6n【答案】C。n解析：設每頭牛每天吃1份草，則牧場上的草每天減少（20×5－16×6）÷（6－5）=4份草，原來牧場上有n20×5+5×4=120份草，故可供11頭牛吃120÷（11+4）=8天。n