五邊形數定理

定理内容

歐拉函數的展開式如下：

即

歐拉函數展開後，有些次方項被消去，隻留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。若将上式視為幂級數，其收斂半徑為1，不過若隻是當作形式幂級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。

和分割函數的關系

歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即：

其中 為k的分割函數。上式配合 五邊形數定理，可以得到：

考慮 項的系數，在

因此可得到分割函數

以