定義域和值域及其奇偶性
幂函數的一般形式是，其中，a可為任何常數，但中學階段僅研究a為有理數的情形（a為無理數時：a>0，定義域為[0，+∞)；a<0，定義域為(0，+∞) ），這時可表示為
（1）當m，n都為奇數，k為偶數時，如，，等，定義域、值域均為R，為奇函數；
（2）當m，n都為奇數，k為奇數時，如，， 等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數；
（3）當m為奇數，n為偶數，k為偶數時，如，等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數；
（4）當m為奇數，n為偶數，k為奇數時，如，等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數；
（5）當m為偶數，n為奇數，k為偶數時，如，等，定義域為R、值域為[0，+∞)，為偶函數；
（6）當m為偶數，n為奇數，k為奇數時，如，等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(0，+∞)，為偶函數。
性質
正值性質
當α>0時，幂函數y=xα有下列性質：
a、圖像都經過點（1，1）（0，0）；
b、函數的圖像在區間[0，+∞）上是增函數；
c、在第一象限内，α>1時，導數值逐漸增大；α=1時，導數為常數；0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近于0（函數值遞增）；
負值性質
當α<0時，幂函數y=xα有下列性質：
a、圖像都通過點（1，1）；
b、圖像在區間（0，+∞）上是減函數；（内容補充：若為X-2，易得到其為偶函數。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區間（-∞，0）上單調遞增。其餘偶函數亦是如此）。
c、在第一象限内，有兩條漸近線（即坐标軸），自變量趨近0，函數值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數值趨近0。
零值性質
當α=0時，幂函數y=xa有下列性質：
a、y=x0的圖像是直線y=1去掉一點（0，1）。它的圖像不是直線。
讨論分析
由于x大于0是對α的任意取值都有意義的，因此下面給出幂函數在各象限的各自情況。可以看到：
（1）所有的圖像都通過（1，1）這點.（α≠0） α>0時 圖象過點（0，0）和（1，1）。
（2）單調區間：
當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性：
①當α為正奇數時，圖像在定義域為R内單調遞增；
②當α為正偶數時，圖像在定義域為第二象限内單調遞減，在第一象限内單調遞增；
③當α為負奇數時，圖像在第一三象限各象限内單調遞減（但不能說在定義域R内單調遞減）；
④當α為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限内單調遞減。
當α為分數時（且分子為1），α的正負性和分母的奇偶性決定了函數的單調性：
①當α>0，分母為偶數時，函數在第一象限内單調遞增；
②當α>0，分母為奇數時，函數在第一三象限各象限内單調遞增；
③當α<0，分母為偶數時，函數在第一象限内單調遞減；
④當α<0，分母為奇數時，函數在第一三象限各象限内單調遞減（但不能說在定義域R内單調遞減）；
（3）當α>1時，幂函數圖形下凹（豎抛）；
當0<α<1時，幂函數圖形上凸（橫抛）。
（4）在（0，1）上，幂函數中α越大，函數圖像越靠近x軸；在（1，﹢∞）上幂函數中α越大，函數圖像越遠離x軸。
（5）當α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。
（6）顯然幂函數無界限。
特性
對于α的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來讨論各自的特性：
首先我們知道如果 ，q和p都是整數，則，如果q是奇數，函數的定義域是R;如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞）。
當指數α是負整數時，設α=-k，則 ，顯然x≠0，函數的定義域是（－∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根号下而不能為負數，那麼我們就可以知道：
α小于0時，x不等于0；
α的分母為偶數時，x不小于0；
α的分母為奇數時，x取R。
