數列通項公式:數學公式-中文百科頻道

求法

等差數列

an=a1+(n-1)d，（n為正整數）

a1為首項，an為第n項的通項公式，d為公差。

前n項和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2，（n為正整數）

Sn=n(a1+an)/2 注：n為正整數

若n、m、p、q均為正整數，

若m+n=p+q時，則：存在am+an=ap+aq

若m+n=2p時，則：am+an=2ap

若A、B、C均為正整數，B為中項，B=(A+C)/2

也可推導得Sn=na1+nd(n-1)/2

等比數列

對于一個數列 {a n }，如果任意相鄰兩項之商（即二者的比）為一個常數，那麼該數列為等比數列，且稱這一定值商為公比 q ；從第一項 a 1 到第n項 a n 的總和，記為 T n 。那麼，通項公式為

(即a1 乘以q 的（n-1)次方，其推導為“連乘原理”的思想：

a 2 = a 1 *q,

a 3 = a 2 *q,

a 4 = a 3 *q,

````````

a n = a n-1 *q,

将以上（n-1)項相乘，左右消去相應項後，左邊餘下a n , 右邊餘下 a1 和(n-1)個q的乘積，也即得到了所述通項公式。

此外，當q=1時該數列的前n項和 Tn=a1*n

當q≠1時該數列前n 項的和 T n = a1 * ( 1- q^(n)) / (1-q).

一階數列

概念

不妨将數列遞推公式中同時含有 a n 和a n 1 的情況稱為一階數列，顯然，等差數列的遞推式為

a n =（ a n-1 ） d , 而等比數列的遞推式為 a n = a n-1 *q ；這二者可看作是一階數列的特例。故可定義一階遞歸數列形式為： a(n 1) = A *a n B ········☉ , 其中A和B 為常系數。那麼，等差數列就是A=1 的特例，而等比數列就是B=0 的特例。

思路

基本思路與方法：複合變形為基本數列（等差與等比）模型；疊加消元；連乘消元

思路一：原式複合（等比形式）

可令 a(n 1) - ζ = A * (a n - ζ )········① 是原式②變形後的形式，即再采用待定系數的方式求出 ζ 的值，整理①式後得 a(n 1) = A*an ζ - A*ζ , 這個式子與原式對比可得，ζ - A*ζ = B

即解出 ζ = B / (1-A)

回代後，令 bn= an - ζ ,那麼①式就化為 b(n 1) =A* b n , 即化為了一個以（a1-ζ )為首項，以A為公比的等比數列，可求出bn的通項公式，進而求出 {an} 的通項公式。

思路二：消元複合（消去B）

由 a(n 1) = A *a n B ········ ②有

可得 a(n 1) - a n = A *（ a n - a(n-1））······③

令 bn = a(n 1) - an 後， ③式變為 bn = A* b(n-1) 等比數列，可求出 bn 的通項公式，接下來得到 a n - a(n-1) = f (n) (其中f(n) 為關于n的函數）的式子，進而使用疊加方法可求出 an

二階數列

概念

類比一階遞歸數列概念，不妨定義同時含有an+2 、an+1、an的遞推式為二階數列，而對與此類數列求其通項公式較一階明顯難度大了。為方便變形，可以先如此诠釋二階數列的簡單形式：an+2 = A * an+1 +B * an , ( 同樣，A，B常系數)

求法

基本思路類似于一階，隻不過，在複合時要注意觀察待定系數和相應的項原式複合：令原式變形後為這種形式 a(n 2) - ψ * a(n 1) = ω (a(n 1) - ψ*an)，将該式與原式對比，可得ψ ω = A 且 -（ψ*ω）= B

通過解這兩式可得出 ψ與ω的值，令bn=a(n 1) - ψ*an, 原式就變為 b(n 1) = ω * bn 等比數列，可求出bn 通項公式bn = f (n) ，即得到 a(n 1) - ψ*an = f (n) (其中f(n) 為關于n的函數), 而這個式子恰複合了一階數列的定義，即隻含有a(n 1)和an 兩個數列變項，從而實現了“降階”，化“二階”為“一階”，進而求解。