定理定義
通過任意閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的所有電荷量的代數和。
積分形式
真空中高斯定律積分形式為：
驗證推導
高斯定理也稱為高斯公式，或稱作散度定理、高斯散度定理、高斯－奧斯特羅格拉德斯基公式、奧氏定理或高－奧公式（通常情況的高斯定理都是指該定理，也有其它同名定理）。nn在靜電學中，表明在閉合曲面内的電荷之和與産生的電場在該閉合曲面上的電通量積分之間的關系。
定理推廣
求解電場強度E可用庫侖定律,也可用高斯定理。利用庫侖定律連同場強疊加原理對點電荷、點電荷系的場強一般都可求解;對連續分布帶電體系的場強原則上也可求解，但對具體問題必須知道電荷的連續分布函數才能求解。利用高斯定理求解場強有一定局限性,一般隻能對具有某種對稱性分布的場強可求解。
利用高斯定理求解場強必須遵從兩個步驟:其一,必須對所涉及的帶電體系産生的場強進行定性分析,明确場強方向和大小的分布規律;其二,依據場強分布規律,判斷能否用高斯定理求解,能則構建适當的高斯面進行求解。
構建高斯面必須滿足兩個條件:其一,所求場強之點必須在高斯面上;其二,高斯面上各點或某部分各點場強大小相等。在此基礎上,高斯面的形狀大小原則上可任意選取,使待求場強E都可移到高斯定理的積分号外而求出所涉及的帶電體系在待求點産生的場強。當然,在求解具體問題時應選擇使求解最簡便的高斯面。
構建體系高斯面解題
為叙述方便,把包圍整個帶電體系的高斯面稱為體系高斯面。例如,求解無限長均勻帶電細直捧,無限大均勻帶電平面和均勻帶電球面外的場強時,經分析可知這些帶電體系所産生的場強分布各自都具有一定的對稱性,可構建形狀适當的體系高斯面求解。
對無限長均勻帶電細直棒,可構建以此細棒為軸線,過所求場強之點的無限長圓柱面為高斯面。對無限大均勻帶電平面,可在其兩側各作一個與其平行的無限大平面,構成高斯面。對均勻帶電球面,可構建一個與帶電球面同心并過待求場強點的球面作高斯面。利用這些高斯面可分别求出相應帶電體系産生的合場強 。
構建局部高斯面解題
為區别于體系高斯面,可把隻包圍帶電體系中部分電荷的高斯面稱為局部高斯面。既然帶電體系周圍空間各點的場強都是帶電體系各電荷産生的合場強,利用體系高斯面能正确求解,那利用局部高斯面也一定能正确求解。在構建高斯面必須滿足的兩個條件的前提下,局部高斯面的大小形狀還有一定任意性,但應該構建對于解題最簡便的高斯面。例如,求解均勻帶電球面産生的場強,可構建以帶電球面的球心為頂點,母線沿球的半徑,且大于球的半徑,底面是以母線為半徑的球面的一部份,并過求場強之點的圓錐形高斯面。
求解無限大均勻帶電平面的場強,可構建兩端面平行于帶電平面,并各在帶電平面一側的垂直于帶電平面的圓柱面作高斯面。求解其它帶電體系的問題,也可以此類似作局部高斯面求解。有些問題的場強分布,整體而言無求解所必需的規律性,但局部看來則有之。對這樣的問題,就隻能構建局部高斯面求解。例如,要求解外表面不規則的金屬體靜電平衡時表面一點的場強,就隻能構建垂直帶電體表面的柱面高斯面,且柱面必須足夠短,兩端面必須足夠小,才能正确求解。
求解多個帶電體系産生的場強問題
由多個帶電體系産生的電場,其場強分布具有某種對稱性時,一般可用高斯定理求解。多個帶電體系都在周圍空間産生電場,所構建的任一高斯面上的實際場強都是所有帶電體系産生的場強的矢量和。但應該注意,解題中定性分析場強分布時,涉及到哪些帶電體系,所求出的場強就隻是這些帶電體系産生的合場強,不包括未涉及的帶電體系所産生的場強。
相關故事
張五常談高斯定律
高斯定律有幾個版本。一九五九年首先出現的是，資産的權利界定是市場運作的先決條件。這是說，不是私産不能在市場成交。這當然對，其貢獻是指出傳統的交易定律（Theorem of Exchange）漠視了必須的産權局限條件。淺而重要，可惜對解釋世事不關心的視作等閑。
今天家喻戶曉的高斯定律，出自一九六○年的鴻文，有兩三個版本，其中以牛吃麥為例而推出來的“不變定律”（Invariance Theorem）老生常談，應該是上述專家說是錯的那個定律了。
有兩塊相連的土地，其一用作種麥，其二用作養牛。牛群跑到麥地吃麥，對麥損害的負值高于牛增重的正值，出現了私人成本與社會成本的分離，政府非管不可。高斯定律說，如果麥地與牛地有明确的權利劃分，交易費用是零，那麼麥地與牛地的權利誰屬都會有相同的土地使用效果，不變也。
這是說，如果種麥的地主有權不準牛群吃麥，養牛的大可補償牛對麥的損害，或租用麥地，欄杆建造的位置，是邊際上牛吃麥的增值與麥損害的負值相等。
一九六二年讀到這養牛與種麥的例子時，幾位同學和我都知道不同的權利界定，收入或财富的分配不同，如果雙方的品味有别，欄杆的位置會變。這是說，權利界定給那一方，該方的收入較高，另一方的收入較低，收入的轉變會影響消費，大家品味不同，一方喜歡多吃牛，另一方喜歡多吃麥，欄杆的位置會因為土地的權利界定誰屬有變而變。
當年我是例子還沒有讀完就想到上述的收入分配不同會引起欄杆位置可變的副作用，但認為問題不重要：高斯大可假設收入或财富分配的副作用不存在。跟着又想，如果不讓高斯作這假設，他可以方便地把定律改為：隻要權利界定清楚，讓市場順利運作，土地的總價值會按養牛者與種麥者的消費品味而達至最高點。
後來與高斯暢談他一九六○的鴻文，提出他應該為收入分配不同會引起的副作用下個腳注，殊不知他響應：“不是很清楚嗎？不言自明是不需要下腳注的。”Self-evident是他當時選用的形容詞。我坐在那裡想，他是說蠢人不讀算了，而我自己差不多不及格，很有點尴尬。
再後來倫敦經濟學院的一位教授不明高斯定律的主旨，在收入分配的副作用上大做文章，見笑天下。至于最近香港的經濟專家說的有不少數學大文從收入分配的角度證明高斯定律是錯了，我沒有跟進。不容易相信這self-evident的話題要大興數學的土木，如果是真的話，經濟學的發展豈不令人悲從中來哉？
這裡要說的，是問題有重要與不重要之分。判斷重要性，主要講感受，與智商的高低沒有多大關系。昔日的馬爾薩斯，近代的舒爾茲，現代的諾斯，分析能力不見得有過人之處，隻憑對重要性的感受好就見經傳了。一九七三年嘉素對我說，當世的所有經濟學者中，以重要性的判斷論英雄，高斯可能無敵天下。我早就知道，所以在芝大的兩年頻頻與高斯研讨，談的主要不是他的文章，而是要知道為什麼他會這樣想或那樣想。高斯傾囊相授。
判斷重要性的第一個啟蒙老師是赫舒拉發。我提出問題，他認為重要才作答，否則忙顧左右而言他。第二個是艾智仁，他對任何文章一笑我知道認為是胡說，嚴肅起來我知道要深入地拜讀。跟着是與高斯、佛利民、戴維德、巴賽爾等人的多番研讨了。
在芝大遇到夏保加，說我的文章有趣味。我問：“不重要嗎？”他響應：“何謂重要隻有天曉得，說有趣是最高的評價了。”再後來遇到W. Meckling，說有趣的觀察是我的一技之長。我問：“隻這麼多嗎？”他答：“聰明易找，品味難求，千萬不要放棄你的品味路向。”說實話，我想不出自己的品味好在何處，很有點粗俗，但喜歡過瘾一下，而喜惡之分是明确而強烈的。天生使然吧。
我一九八二年發表的《中國會走向“資本主義”的道路嗎？》就含意着這定律有嚴重的錯，但要到一九九八的一篇演辭才清楚地寫出來，引起反響。我指出該定律用上“清楚的權利界定”（即私有産權）與「交易費用是零」這兩個假設，互相加不起來！毫無交易費用，資源的“完美”使用是不需要市場的。權利的界定是一種制度，市場的安排也是一種制度，而二者都是為了減低交易或社會費用而出現的。沒有這些費用，中央分配可以盡善盡美，不需要有私産，也不需要有市場。從個人的品味看，這才是高斯定律需要加的一個重要腳注。
發展簡史
由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面内部出來，否則這條磁力線就不會閉合起來了。如果對于一個閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進入曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那麼就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為0。這個規律類似于電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理 。
與靜電場中的高斯定理相比較，兩者有着本質上的區别。在靜電場中，由于自然界中存在着獨立的電荷，所以電場線有起點和終點，隻要閉合面内有淨餘的正（或負）電荷，穿過閉合面的電通量就不等于零，即靜電場是有源場；而在磁場中，由于自然界中沒有單獨的磁極存在，N極和S極是不能分離的，磁感線都是無頭無尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等于零。
特别要強調兩點： 1.關于電場線的方向的規定：電場線上每一點的切線方向就是該點電場的方向。2.關于電場線的疏密的規定：電場線在某處的疏密要反映電場強度的大小，即在電場中通過某一點的電場線的數密度與該點電場強度的大小呈正相關， 即： E= dN/ds，其中ds是在電場中的某一點取一個通過該點的且與電場線垂直的微分面，dN就是穿過該面ds的電場線的根數。
高斯定理源于庫侖定律,依賴于場強疊加原理,隻有當電場線密度等于場強大小時場線通量才能與場強通量等同,并統一遵從高斯定理。高斯面上的實際場強是其内外所有電荷産生的場強疊加而成的合場強。但利用高斯面所求得的場強則僅僅是分析高斯面上場強分布時所涉及的電荷在高斯面上産生的合場強,而不包含未涉及的電荷所産生的場強。
定理意義
高斯第一個假設，是一般人都認為很自然的——畜牧者并沒有權利讓牛群吃麥。換言之，種麥的收成是耕耘者的私有産權。在這個情形下，牛群吃麥是可以的，但耕耘者卻有權收取費用。若畜牧者認為所要付出的費用（價錢）是有所不值，他就會約束牛群的行為，例如用欄杆将牛群隔開。但欄杆應築在那裡呢？答案是，并不一定在兩塊地的交界。
假若牛群吃麥所得的增值，在邊際上，是大過麥的損失，那麼隻要是市場的交易費用不太高，畜牧者與耕耘者就可互定會約，吃麥多少以市價而定。耕耘者得到市價的補償，就樂意接受麥的損失。但若牛群吃麥的增值，在邊際上是少過麥的損失，那麼畜牧者就不願意付出牛群增加吃麥的市價。欄杆的位置（或約束牛群的程度），是以吃麥的市價而定。那就是說，在互定會約的情況下，欄杆的位置是會築在多吃一點麥對牛群的增值，跟麥的邊際損害市值相等。邊際上的利益等于邊際上的損害，兩塊地的生産總淨值就會是最高的。
高斯跟着作一個相反的假設，這就是牛群吃麥的權利是在畜牧者的手上。那就是說，雖然耕耘者可在自己的地上種麥，但牛吃麥的權利卻是畜牧者的私産。在這個假設下，牛吃麥的份量會否比第一個假設有所增加呢？高斯的答案是不會的。這是因為雖然畜牧者有權讓牛群免費吃麥，但耕耘者可将麥的市價，付給畜牧者，使畜牧者能有利地在邊際上約束牛群的行為。
那就是說，若牛吃麥的邊際增值是大過麥的市值損害，那麼耕耘者就不可能以市價阻止牛吃麥；既然在邊際上麥的損失是少過牛的增值，讓牛多吃點麥是會增加社會生産的總淨值。但若在邊際上吃麥的增值是少過麥的損害，則耕耘者大可以以損失的市值，付給畜牧者，要後者去減少牛對麥的損害。畜牧者既然見收了一點錢而在邊際上約束牛群的行為，他的收入是有所增加，當然也樂意遵命。在互定合約下，欄杆位置的選擇，恰恰跟第一個相反的權利假設相同——在邊際上，牛群吃麥的增值跟麥的損害相等。兩塊地的生産總淨值也會是最高的。
高斯定律的主旨，就是不管權利誰屬，隻要是清楚地界定是私有，市場的運作能力便會應運而起；權利的買賣者互定合約，使資源的使用達到最高的生産總淨值。這總值的衡量不是由政府随意加減的，而是依消費者的喜好、所肯付出的代價而表達出來。當然，在以上畜牧和耕耘的例子中——或任何資源使用的例子——權利誰屬是會影響财富的分配，而分配不同可能對資源的使用有間接的效果。但單就在運用資源為社會作出最大收益的問題上，高斯定律是無懈可擊的。
在高斯的“社會耗費問題”一文内，高斯定律隻不過是一個小貢獻。遠為重要的貢獻就是高斯将該定律引伸到有交易費用（非生産費用）的情況上，而從這引伸的演變，更能令我們明白計劃經濟和國有制的經濟困難。要将交易費用的演變在報章上向讀者解釋，是極其不易，因為這題目實在是湛深。但我仍可用些較淺的例子來讓讀者稍知大概。
假若在有清楚私産界定的情況下，畜牧者跟耕耘者在讨價還價上發生了問題，或者在牛群吃麥多少的量度上發生了糾紛，那麼以市價買賣的普通合約就難以達成協議。但既然資源運用的利害是私人的事，他們雙方大可利用一些交易費用較低而生産效率也較差的合約方式成交，例如，他們可以商議租用麥地的面積而不計麥的數量損失；或者他們也可以合股經營，以分賬的方法處理。
讓我們假設政府将以上提及的兩塊地收歸國有，用專家作決策，情況又會怎樣呢？第一、沒有市價的存在，牛群的增值多少或麥的損失多少用甚麼标準來決定呢？專家可不能代表吃肉或吃麥的人的口味。第二、假若要築欄杆，位置從何而定？專家選錯了位置會受到甚麼責罰？而有甚麼準則可以斷定欄杆的位置是對了或是錯了的？第三、若建造欄杆的費用高，專家要用甚麼準則來衡量這費用是過高或是不合算？第四、畜牧者及耕耘者的勞力要用甚麼方法獎勵？用牛？用麥？抑或用其他非物質的方法？獎勵的多少又由誰來作決定？第五、專家的勞力又要怎樣計算才能保障生産的增加？我們又要用甚麼方法去分别“專家”與“非專家”？
在這篇文章裡我引用高斯的畜牧及耕耘的例子的主要原因，就是因為牛群是會走動，不容易控制。這一個特征加強了界定及保障私有産權的困難，也增加了讨價還價及議定合約的費用。我故意采用一個在私産下交易（非生産）費用較大的例子，去強調私産的弱點或困難。假若牛群是像蔬菜一樣，不會走動，交易費用将會較少，私産較易施行，但決定資源的使用及财富分配的經濟問題仍是驅之不去的。
在國有制下，這些經濟問題同樣存在，但因為制度不同，解決的方法有異。經濟進展的快慢，就是在乎哪一種方法可以在生産上取得較高的總淨值。引伸到交易或非生産費用的問題上，這總淨值當然也要除淨這些費用的。就是在畜牧及耕耘的例子中——一個私産不易施行的例子——我們也可見到國有制下要提高總淨值的困難，是要比私産的困難大得多。這是因為在不同制度下的交易（非生産）費用雖然性質不同，但這些費用在生産價值上的比重，共産是要比私産的高得多。
高斯定律最大的貢獻，是提醒我們在實踐上分析經濟制度時一定要考慮到那些可觀的交易或非生産的費用。我們20多年來的研究，實證資料堆積如山，所得到一個主要結果，就是隻有在私産制度下，人類才會為自利的原故設法将這些費用的比重盡量減低。這是從高斯的理論所演變出來的對國有制的最大貢獻。
