發展簡史
卷積背景及原理
卷積操作曆史上來發展于信号處理領域，在信号處理中原始信号通常會被混入噪音，假設傳感器在每個時刻會輸出一個信号，這個信号通常混入了一些噪聲，我們可以通過過個測量點進行加權平均來抵消掉噪聲，并且離當前時間點越近的測量點權重應該越高，我們可以用下面的公式表示
上式中是一個權重函數，參數是時間點距離當前時間的距離，輸出時間點測量的權重；是信号測量函數。在這個例子中，的采樣是離散的，因此采用了加和的形式，同時還應該是一個概率密度函數，因為在這個例子中表示了一種權重。下圖就是這個例子的可視化，灰色是，紅色的部分就是經過翻轉的，綠色部分是生成的。
這個例子實際上就是卷積操作的一種特例，進一步擴展成連續函數，并且對函數沒有限制，我們就得到了卷積操作的定義。根據維基百科定義，卷積運算（Convolution）是一種通過兩個函數和生成第三個函數的一種數學算子，公式表示如下。通常将函數稱為輸入（input），函數稱為卷積核（kernel），函數稱為特征圖譜（featuremap）
我們考慮離散多維卷積的情況，這個也是深度學習領域最常見的情況，即輸入是一個多維數組，卷積核也是一個多維的數組，時間上是離散的，因此無限的積分變成有限的數組有限元素的加和：
上式表明的操作在直觀上理解是先對卷積核翻轉，然後與輸入點乘、求和得到輸出。在機器學習領域尤其是深度學習中，卷積的實現通常省去了卷積核翻轉這一步，因為深度學習中的卷積核參數是不斷學習更新，因此有沒有翻轉并沒有性質上的影響。嚴格定義上說，深度學習中的卷積實際上是另一種操作：互相關Cross-Correlation。公式表示如下
将嚴格意義上的互相關和卷積都稱作卷積。
定理定義
在泛函分析中，卷積、旋積或褶積(英語：Convolution)是通過兩個函數和生成第三個函數的一種數學算子，表征函數和經過翻轉和平移的重疊部分函數值乘積對重疊長度的積分。
設兩函數為，，為維向量，則與卷積定義為：
特别地，在一維情況下：
在二維情況下：
在三維情況下：
相關公式
驗證推導
證明卷積定理前，先對證明中用到的性質進行簡單介紹。
傅立葉變換的時移性質。該性質表述為：設為實常數，若，則
傅立葉變換的時移性質表明當一個信号沿時間軸平移後，各頻率成份的大小不發生改變，但相位發生變化。該性質可以由傅立葉變換的定義進行證明：
令，則有
另外，由富比尼定理可知，積分區域連續的前提下，二重積分的積分次序可以交換。
下面對時域卷積定理和頻域卷積定理進行推導證明。
這裡展示的證明是基于傅立葉變換的特定形式。如果傅裡葉變換的形式不同，則推導中将會增加一些常數因子。令屬于。的傅裡葉變換，的傅裡葉變換：
其中之間的點表示上的内積。
定理推廣
卷積定理的應用在很多涉及積分變換、積分方程的文章中都有所體現。常見的一些重要的積分變換，例如：Mellin變換、Laplace變換、Fourier變換等都具有所謂的卷積性質（ConvolutionProperty）。這裡要注意的是，針對不同的積分變換，卷積性質的形式不是完全相同的，隻要一些基本的結構得到保留就可以了。
卷積定理可以簡化卷積的運算量。對于長度為的序列，按照卷積的定義進行計算，需要做組對位乘法，其計算複雜度為；而利用傅裡葉變換将序列變換到頻域上後，隻需要一組對位乘法，利用傅裡葉變換的快速算法之後，總的計算複雜度為。這一結果可以在快速乘法計算中得到應用。
采樣率，是地震數據處理中的一個重要參數。在反褶積時采樣率依賴原始地震數據的采樣率,采樣率越小,反褶積效果的精度就越高,但野外采集花費的成本和室内數據處理所用的時間也越多,而采樣率越大,雖能節約成本和提高效率,但反褶積效果的精度會變低。此外,信号的頻譜在理論上是無限寬的,采樣将丢失一部分信息,這就可能會對反褶積效果造成影響。針對以上問題,本文基于采樣定理研究采樣率對反褶積效果的影響,通過對地震數據重采樣,對重采樣後的地震數據進行Gabor反褶積處理。數值模拟和實際資料結果表明:在遵循采樣定理的情況下,大采樣率的反褶積效果無法識别薄層;從反褶積效果的精度和地震資料處理效率來看,存在一個最優采樣率,既能保證反褶積效果的精度,又能提高工作效率。
針對奇、偶信号的去噪問題,提出了一種基于線性正則正（餘）弦變換卷積定理的乘性濾波器設計方法。在現有線性正則變換域卷積理論的基礎上,研究了兩類線性正則正（餘）弦變換卷積定理,利用所得卷積定理,通過合理選擇濾波函數,設計了一類基于卷積定理的線性正則正（餘）弦變換域帶限信号的乘性濾波模型,并對算法的複雜度進行分析。研究表明,這種濾波模型特别适合處理奇、偶信号,并能有效降低乘積濾波的計算複雜度,提高運算效率。
濾波器，分為數字濾波器和模拟濾波器,數字濾波器是指輸入、輸出均為數字信号,且通過數值運算處理濾除指定成分的數字器件或程序。時域卷積定理表明兩序列卷積的服從相乘的運算關系,對于線性時不變系統,輸出的FT等于輸入信号的FT乘以單位脈沖響應的FT。從濾波器的角度來理解卷積運算是最容易、最快捷的方式。
