簡介
命名由來
“有理數”這一名稱不免叫人費解，有理數并不比别的數更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數”。但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這裡的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的“比”。與之相對，“無理數”就是不能精确表示為兩個整數之比的數，而并非沒有道理。
有理數的認識
有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。由于任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數，反之，每一個十進制循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進制循環小數。
有理數集是整數集的擴張。在有理數集内，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻。
有理數a,b的大小順序的規定：如果a-b是正有理數，則稱當a大于b或b小于a，記作a>b或b
有理數集與整數集的一個重要區别是，有理數集是稠密的，而整數集是密集的。将有理數依大小順序排定後，任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數，這就是稠密性。整數集沒有這一特性，兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。
有理數是實數的緊密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。
有理數及其分類
有理數的分類按不同的标準有以下兩種：
（1）按有理數的定義分類：
（2）按有理數的性質分類：
有理數分為正有理數和負有理數，正有理數分為正整數和正分數，負有理數分為負整數和負分數。
基本運算法則
加法運算
1、同号兩數相加，取與加數相同的符号，并把絕對值相加。
2、異号兩數相加，若絕對值相等則互為相反數的兩數和為0；若絕對值不相等，取絕對值較大的加數的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。
3、互為相反數的兩數相加得0。
4、一個數同0相加仍得這個數。
5、互為相反數的兩個數，可以先相加。
6、符号相同的數可以先相加。
7、分母相同的數可以先相加。
8、幾個數相加能得整數的可以先相加。
減法運算
減去一個數，等于加上這個數的相反數，即把有理數的減法利用數的相反數變成加法進行運算。
乘法運算
1、同号得正，異号得負，并把絕對值相乘。
2、任何數與零相乘，都得零。
3、幾個不等于零的數相乘，積的符号由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負，當負因數有偶數個時，積為正。
4、幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零。
5、幾個不等于零的數相乘，首先确定積的符号，然後後把絕對值相乘。
除法運算
1、除以一個不等于零的數，等于乘這個數的倒數。
2、兩數相除，同号得正，異号得負，并把絕對值相除。零除以任意一個不等于零的數，都得零。
注意：
零不能做除數和分母。
有理數的除法與乘法是互逆運算。
在做除法運算時，根據同号得正，異号得負的法則先确定符号，再把絕對值相除。若在算式中帶有帶分數，一般先化成假分數進行計算。若不能整除，則除法運算都轉化為乘法運算。
乘方運算
1、負數的奇數次幂是負數，負數的偶數次幂是正數。例如：（-2）³（-2的3次方）=-8，（-2）²（-2的2次方）=4。
2、正數的任何次幂都是正數，零的任何正數次幂都是零。例如：2（2的2次方）=4，2 （2的3次方）=8，0（0的3次方）=0。
3、零的零次幂無意義。
4、由于乘方是乘法的特例，因此有理數的乘方運算可以用有理數的乘法運算完成。
5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。
有理數運算定律
加法運算律:
1、加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變，即 。
2、加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加或者先把後兩個數相加，和不變，即 。
減法運算律：
(a+b)+c=a+(b+c)a+b=a+b減法運算律：減去一個數，等于加上這個數的相反數。即： a-b=a+(-b) 。
乘法運算律：
1、乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變，即 。
2、乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數先乘，或者先把後兩個相乘，積不變，即 。
3、乘法分配律：某個數與兩個數的和相乘等于把這個數分别與這兩個數相乘，再把積相加，即：
a(b+c)=ab+ac(ab)c=a(bc)ab= ba.
混合運算法則
有理數的加減乘除混合運算，如無括号指出先做什麼運算，按照“先乘除，後加減”的順序進行，如果是同級運算，則按照從左到右的順序依次計算。
相關問題
除以零的謬誤
在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明： a=b 。前提a不等于b 。
由：0a=0，0b=0，得出0a=0b。
兩邊除以零，得出0a/0=0b/0。
化簡，得：a=b。
以上謬論一個假設，就是某數除以0是容許的，并且 。
0/0=a
代數處理
若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統内除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即a/b值是方程bx=a中x的解（若有的話）。若設b=0，方程式bx=a可寫成0x=a或直接a=0。因此，方程bx=a沒有解（當a≠0時），但是任何數值也可解此方程（當a=0時）。
整數
整數，是序列{...，-3，-2，-1，0，1，2，3，...}中所有的數的統稱，包括負整數、零（0）與正整數。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常表示為粗體Z或，源于德語單詞Zahlen（意為“數”）的首字母。
在代數數論中，這些屬于有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。
全體整數關于加法和乘法形成一個環。環論中的整環、無零因子環和唯一分解域可以看作是整數的抽象化模型。
Z是一個加法循環群，因為任何整數都是若幹個1或 -1的和。1和 -1是Z僅有的兩個生成元。每個元素個數為無窮個的循環群都與（Z，+）同構。
