發展曆程
人類對微分中值定理的認識始于古希臘時代。當時的數學家們發現，過抛物線頂點的切線必平行于抛物線底端的連線，阿基米德還利用該結論求出了抛物線弓形的面積。這其實就是拉格朗日中值定理的特殊情形。
1635年，意大利數學家卡瓦列裡在《不可分量幾何學》中描述：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦，即卡瓦列裡定理。它反映了微分中值定理的幾何形式。
1637年，法國數學家費馬在《求最大值和最小值的方法》中給出了費馬定理，即函數在極值點處的導數為零。
1691年，法國數學家羅爾在《方程的解法》中給出了多項式形式的羅爾定理，後來發展成一般函數的羅爾定理，并且正是由費馬定理推導而出。
1797年，法國數學家拉格朗日在《解析函數論》中首先給出了拉格朗日中值定理，并予以證明。它也是微分中值定理中最為主要的定理。
19世紀10年代至20年代，法國的數學家柯西對微分中值定理進行了更加深入的研究。他的三部巨著《分析教程》、《無窮小計算教程概論》和《微分計算教程》，在分析上進行了嚴格的叙述和論證，對微積分理論進行了重構。他在《無窮小計算教程概論》中嚴格地證明了拉格朗日中值定理，後來又在《微分計算教程》中将拉格朗日中值定理推廣為廣義中值定理—柯西中值定理。
現代形式的拉格朗日中值定理是由法國數學家O.博内在其著作《Cours de Calcul Differentiel et integral》中給出的，他并非利用的連續性，而是利用了Rolle定理對拉格朗日中值定理加以重新證明。
定理内容
定理表述
最初形式
函數在和之間連續，的最大值為，最小值為，則必取，中的一個值.
現代形式
如果函數在閉區間上連續，在開區間上可導，那麼在開區間内至少存在一點使得。
結論變形
拉格朗日中值定理的結論有幾種變形：
或令，，，有
若把記成，則
上面第一式稱為拉格朗日中值公式，第二式和第三式稱為有限增量公式，拉格朗日中值定理也稱為有限增量定理，視其重要性，又稱為微分中值定理
推導驗證
設，由于在閉區間上連續，在内可導，因此在閉區間上連續，在内可導。
又，所以由羅爾中值定理，在内至少存在一點，使
亦即
或
以上證明是在的情況下得到的，如果，同樣可證的定理的結論。
定理推廣
學術意義
幾何意義
若連續曲線在點，之間的每一點處都有不垂直于軸的切線，則曲線在、間至少存在一點，使得該點處的切線與割線平行。
運動學意義
對于曲線運動，在任意一個運動過程中至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速率等于這個過程中的平均速率。
推理推論
根據拉格朗日中值定理，可以得到下列推論：
推論1：若函數在區間上的任意點處的導數恒等于零，則函數在區間内是一個常數。
推論2：若函數和在區間内的每一點導數與都相等，則這兩個函數在此區間内至多相差一個常數。
柯西中值定理被認為是拉格朗日中值定理的推廣，它是指：設和在上連續，在上可導，并且在上不為零，這時對于某一點，有=
定理應用
拉格朗日中值定理是微分學理論中非常突出的成果，在理論和應用上都有着極其重要的意義，它溝通了函數與其導數的聯系,因此很多時候可以從導數的角度來研究函數在其定義域上的性質。
拉格朗日中值定理的應用比羅爾定理和柯西中值定理的應用更加廣泛，因為它對函數的要求更低，且該定理建立了函數增量、自變量增量及導數之間的聯系，這為利用導數解決函數的相關問題提供了重要支撐。總的來說，在研究函數的單調性、凹凸性以及求極限、恒等式、不等式的證明、判别函數方程根的存在性、判斷級數的斂散性以及證明與函數差值有關的命題，以及計算未定式極限等方面，都可能會用到拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理的幾何意義也有較為廣泛的應用。此外，拉格朗日中值定理的變形公式指出了函數與導數的一種關系，因此，可以利用這種關系研究函數的性質。
在化學、物理等其他專業領域，也可以利用拉格朗日中值定理來進行計算和研究，例如在化學中計算相對于時間的反應級數，在物理中研究航空重力異常向下延拓方法等。
運用示例
證明等式
例1：設在上連續，在内可導，證明：在内至少存在一點使得
證明：設，則在内可導，在上連續，于是根據拉格朗日中值定理可知至少存在一點，使得=，因此=
證明不等式
例2：設函數在内可導，在上連續，且，證明：如果在上不恒等于零，則必有，使得。
證明：設，則在内可導，在上連續,，所以使，從而在内可導，在上連續，拉格朗日中值定理的條件滿足，如此，使=，即。
求函數極限
例3：求。
解：令，則在上連續，在内可導，拉格朗日中值定理的條件滿足，所以，使得=，且顯然時，所以==
意義影響
拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心内容，它是羅爾定理的直接推廣，而柯西中值定理和泰勒中值定理又是拉格朗日中值定理在形式上及應用上的推廣。拉格朗日中值定理是将函數與導數聯系起來的一座橋梁，是研究函數的重要理論工具，它是微積分學重要的組成部分，在微積分學中占有十分重要的地位，且有着廣泛應用。
