簡介
求某函數的定積分時，在多數情況下，被積函數的原函數很難用初等函數表達出來，因此能夠借助微積分學的牛頓-萊布尼茲公式計算定積分的機會是不多的。另外，許多實際問題中的被積函數往往是列表函數或其他形式的非連續函數，對這類函數的定積分，也不能用不定積分方法求解。由于以上原因，數值積分的理論與方法一直是計算數學研究的基本課題。
對微積分學作出傑出貢獻的數學大師，如I.牛頓、L.歐拉、C.F.高斯、拉格朗日等人都在數值積分這個領域作出了各自的貢獻，并奠定了這個分支的理論基礎。
構造數值積分公式最通常的方法是用積分區間上的n 次插值多項式代替被積函數，由此導出的求積公式稱為插值型求積公式。特别在節點分布等距的情形稱為牛頓-柯茨公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)與抛物線公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式。但它們的精度較差。龍貝格算法是在區間逐次分半過程中，對梯形公式的近似值進行加權平均獲得準确程度較高的積分近似值的一種方法，它具有公式簡練、計算結果準确、使用方便、穩定性好等優點，因此在等距情形宜采用龍貝格求積公式(Rhomberg Integration)。當用不等距節點進行計算時，常用高斯型求積公式計算，它在節點數目相同情況下，準确程度較高，穩定性好，而且還可以計算無窮積分。數值積分還是微分方程數值解法的重要依據。許多重要公式都可以用數值積分方程導出。
公式
用被積函數的有限個抽樣值的離散和或加權平均值近似地代替定積分的值。在求函數ƒ(x)的定積分時，常常無法用初等函數表示原函數，因此能按牛頓-萊布尼茨公式。n
(1)計算積分值的定積分是不多的。另外，當ƒ(x)是列表函數時,也不能使用式(1)計算它的積分值。上述事實說明，必須研究近似估算積分的數值積分方法。曆史上，阿基米德、I.牛頓、L.歐拉、C.F.高斯、∏.Л.切比雪夫等人都對此有過貢獻。
(2)的近似公式，又稱求積公式,xj和Aj(i=0,1,…,m)分别稱為求積結點和求積系數，通常xj∈【α,b】;式(2)右端稱為求積和；兩端之差稱為求積餘項或求積誤差；區間【α，b】可以是有限的或無限的。構造求積公式的問題就是确定xj和Aj使得E(ƒ)在某種意義下盡可能地小。
代數精度
若式(2)對ƒ(x)＝x(k=0,1,…,d)精确成立，亦即E(ƒ)=0，而當ƒ(x)=x不再是精确等式，則說求積公式(2)的代數精度是d。根據K.外爾斯特拉斯的多項式逼近定理,就一般的連續函數ƒ而言,d越大E(ƒ)越小，因此可以用代數精度的高低說明求積公式的優劣。
插值求積
通過插值途徑構成的求積公式。用ƒ(x)的以x0,x1,…,xm為結點的插值多項式
近似替代ƒ(x)後,經過積分可以得到形如(2)的插值型求積公式，其中求積系數。
(3)若所有的xj都屬于【α,b】,則稱它為内插型求積公式。這是一類最基本的求積公式。由于m+1個結點的插值型求積公式的代數精度至少是m,所以具有一定代數精度的求積公式總是存在的。
牛頓科茨
等距結點情形下的權函數為1的内插型求積公式。設［α，b］為有限區間，ω(x)呏1。取,Aj由式(3)确定求積公式n
，(4)稱為［α,b］上的m+1點牛頓-科茨公式,它的代數精度至少是m。當m=1時，式(4)變成
,
此式右端等于以ƒ(α)和ƒ(b)為底，以b-α為高的梯形的面積值,故通稱為梯形公式,它的代數精度是1。若ƒ″(x)在【α，b】上連續，則通過積分插值餘項，可知它的求積誤差為
當m=2時，式(4)變成
這是辛普森公式，由于求積結點選得恰當，它的代數精度是3。當ƒ(x)在［α,b］上連續時，它的求積誤差為
當m≥10，牛頓-科茨公式中的求積系數總有一些是負的。這樣的公式在計算上會帶來較大的誤差，一般不被采用。
由上述兩個求積公式的誤差表達式看出，積分區間越小，求積誤差就越小。因此為了提高求積精度，可使用複化求積公式。若用分點
将【α,b】n等分,然後對每個子區間【xj,xj+1】應用梯形公式，并對i=0,1,…,n-1求和，即得複化梯形公式。
若用分點
将【α,b】2n等分,然後對子區間【x2j,x2j+2】應用辛普森公式，并對i=0,1,…，n-1求和，即得複化辛普森公式
逐次分半算法和龍貝格公式 遞推關系和逐次分半算法是數值方法的重要技巧，可用以節省計算時間和計算機的存儲量。龍貝格求積方法正是利用逐次分半算法和遞推關系構成的一種在現代計算機上十分有效的數值積分法。
下面以梯形公式為例說明逐次分半算法。在整個區間【α,b】上應用梯形公式算出積分近似值T1；将【α,b】二等分,應用n=2的複化梯形公式算出T2；再将每個小區間二等分（即将α,b］四等分），應用n=4的複化梯形公式算出T4，如此進行,可得T1,T2,T4,…。在計算T2n時可利用已算出的Tn值：
式中
為複化中矩形公式,這樣，隻需要計算ƒ()的n個新值即可從Tn得到Tn。顯然,逐次分半算法充分地利用了前次的計算結果。比較複化公式S2n、T2n和Tn發現,，适當地組合T2n與Tn可得到代數精度為3的辛普森公式，即有
同樣,适當組合S4n與S2n可得到代數精度為5的求積公式
如此可以引出一系列新公式（遞推關系）：
此處,T呏Tn。上式的代數精度是2k+1。通常稱上式為逐次分半加速公式或龍貝格公式。實際計算可按表1所示進行：當對角線上相鄰兩個近似值
和
之差的絕對值小于允許誤差時，計算即可停止,并取
為積分近似值。
高斯型
一類具有最高的代數精度的内插型求積公式（表2）。求積公式(2)含有2(m＋1)個自由參數（xj和Aj），恰當選擇這些參數,能使公式(2)的代數精度達到2m+1。高斯求積理論中的一個基本定理斷言:隻要把結點x0,x1,…,xm取為區間［α,b］上關于權函數ω(x)m+1次正交多項式的零點,内插型求積公式(2)即達到最高代數精度2m+1。這裡【α，b】可以是有限或無限區間，ω(x)為取正值的權函數。
許多有關數值積分的論著都列舉出各種高斯型公式的結點和系數的數值。可以證明：對每個連續函數，當結點個數趨于無窮時，高斯型公式所給出的近似值序列收斂到相應積分的精确值，而牛頓－科茨公式則不具有這種性質。
高維數值積分的主要方法有蒙特卡羅法、代數方法和數論方法。
