发展简史
人们对积分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实:曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了。1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理。1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为积分学的核心定理。在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个积分中值定理。
定理定义
积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。
验证推导
若函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点 ， 使下式成立
其中， 满足: 。
二重积分的中值定理
设 在有界闭区域上连续，是的面积，则在内至少存在一点 ，使得:
定理证明
设 在 上连续，因为闭区间上连续函数必有最大最小值，不妨设最大值为 ， 最小值为， 最大值和最小值可相 等。
对 两边同时积分可得:
同除以 从而得到:
由连续函数的介值定理可知，必定 ，使得 ，即:
命题得证。
定理推广
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。
求极限
在函数极限的计算中, 如果含有定积分式, 常常可以运用定积分的相关知识, 比如积分中值定理等, 把积分号去掉。
问题运用
某些带积分式的函数, 常常会有要求判定某些性质的点的存在的问题, 有时运用积分中值定理能使问题迎刃而解。
运用估计
在大多数的积分式中, 能找到其被积函数的原函数再进行求值的积分简直是凤毛麟角, 当被积函数“积不出”或者原函数很复杂时, 可用各种方法来估计积分。对于乘积型的被积函数, 将变化缓慢的部分或积分困难的部分进行估计, 可积的部分积分之。积分中值定理和各种不等式就是其中常用的方法,
不等式证明
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证明不等式成立的目的。
在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可以得到“>”的结论, 或者成功的解决问题。
定理意义
这个定理的几何意义为:若，则由轴、及曲线围成的曲边梯形的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积。
