夹逼定理

定理定义

一、如果数列 及 满足下列条件:

（1）当 时，其中 ，有 ，

(2) 有相同的极限 ，设 ,

则，数列 的极限存在，且 .

证明: 因为 ， ， 所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数 ， 存在正整数 、 ，当 时，有 ，当 时，有 ， 取 ， 则当 时， 、 同时成立，且 ，即 ，， 又因为 ， 即 成立。也就是说 .

二、

与 在 连续且存在相同的极限 ，即 时

则若有函数 在 的某邻域内恒有

则当 趋近 , 有

即

故

简单地说：函数,函数，函数的极限是，函数的极限也是 ，那么函数的极限就一定是，这个就是夹逼定理 。

定理推广

1.设，为收敛数列，且：当趋于无穷大时，数列，的极限均为：.

若存在，使得当时，都有,则数列收敛，且极限为.

2.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得和的极限来确定的极限。

定理意义

 夹逼定理是一个非常好的定理，因为它间接通过求得和的极限来确定的极限。正如郭涛在万有引力中所说的，数是万物之源，数学是我们探究未知的钥匙。我们不仅要会用夹逼定理求数学中的极限，更应该会求生活中的极限，当我们面对困难，面对无法解决的问题，面对我们一无所知的事物，能否换个角度去思考，从它周围的事物着手，或许难题会迎刃而解，或许就会柳暗花明。