基本介绍
正弦函数y=sinx，x∈[-½π,½π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1,1]。
习惯上用x表示自变量，用y表示因变量(函数值)，所以反正弦函数写成y=arcsinx的形式
请注意正弦函数y=sinx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。
反正弦函数只对这样一个函数y=sinx，x∈[-½π,½π]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。
理解 函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值，siny=x或x=siny更易理解。
性质
根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的
arcsinx的含义：
（1）这里的x满足；
（2）arcsinx是（主值区）上的一个角（弧度数）；
（3）这个角（弧度数）的正弦值等于x，即sin（arcsinx）=x.
函数图象：我们知道这个结论“函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称”，先画出函数y=sinx在上的图象，用平板玻璃或透明纸画好图象，翻转过来，从图象上我们可以得到以下两个结论：
（1）反正弦函数y=arcsinx在区间【-1，1】上是增函数；
（2）反正弦函数y=arcsinx的图象关于原点对称，这说明它是奇函数，也就是arcsin（-x）=-arcsinx，x∈【-1，1】.
恒等式
sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1](arcsinx)'=1/√(1-x^2)
arcsinx=-arcsin(-x)
arcsin（sinx)=x ，x属于[-π/2，π/2]
图像
我们知道这个结论函数f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x对称”，
先画出函数y=sinx在[－π/2，π/2]上的图像，用平板玻璃或透明纸画好图像，翻转过来。
证明
单调性
在x，y∈[-π/2,π/2]x
sinx-siny=2sin[(x-y)/2]cos[(x+y)/2]
∵2sin[(x-y)/2]∈[-π,0]<>0
cos[(x+y)/2]∈[-π,0]><0
∴sinx-siny<0,sinx
∴在-1
∴是增函数
奇偶性
∵y=sinx,y=x都是奇函数，∴y=arcsinx也是奇函数
应用
临界角是最少的入射角使得全内反射发生。入射角是由折射界面的法线量度。
其中n2是较低密度介质的折射率，及n1是较高密度介质的折射率。这条方程式是一条斯涅尔定律的简单应用，当中折射角为90°。 当入射光线是准确的等于临界角，折射光线会循折射界面的切线进行。以可见光由玻璃进入空气（或真空）为例，临界角约为41.5°。
