内容
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
性质：“距离”是指点到直线的距离，在应用时必须含有垂直这个条件，否则不能得到线段相等。
判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。
注：外角平分线上的点到角两边的反向延长线的距离相等。
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理
三角形的角平分线：
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisector of angle)。
三角形的内心：三角形三个角平分线的交点叫做三角形的内心。
内角平分线的性质定理
性质1：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
性质2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
综合性质1与性质2，可得到如下结论：
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
三角形内角平分段性质定理，其内容是：
三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例。
证明
●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例．
即 在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC.
证明：
如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF.
S△ABD：S△ACD=BD/CD
又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC
所以BD/CD=AB/AC.
第一部分
1.角平分线可以得到两个相等的角。
角平分线，顾名思义，就是将角平分的射线。
如右图，若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD等于角BAD。
第二部分
2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。
如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：CD=BD
∵∠DCA=∠DBA
∠CAD=∠BAD
AD=AD
∴△ACD≌△ABD
∴CD=BD
第三部分
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。
这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和三角形内心。
第四部分
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS平分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D，求证：AB/BD=AC/CD：
作BE=BD交射线AS于E，如图1：
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠AEB=∠ADC
又∵∠BAE=∠CAD,
∴△AEB∽△ADC,
∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD.
另外的情况，如图2，直线BC交AS的反向延长线于D,
如图3，直线BC交AN的反向延长线于C;
此时，仍有AB/BD=AC/CD
证法与图1类似
逆定理
【角平分线逆定理】
1.到角两边的距离相等的点在角平分线上。
2.平面内任意一小于180度的∠MAN如图，直线BC分别交半直线AM、AN、AS于B、C、D，AB/BD=AC/CD则：AS平分∠MAN
下面给出证明过程：
证明：过B作BH∥AC交AS于H
∴△ADC∽△HDB(∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD)
∴AC/CD=HB/BD
又AB/BD=AC/CD
∴AB=BH
∴∠BHA=∠BAH=∠HAC
∴AS平分∠MAN
