定理定义
如果函数在闭区间上连续，在上不变号，并且在闭区间上是可积的，则在上至少存在一个点，使下式成立：
定理证明
由于在上不变号，不妨设。并且由在上的连续性可知，在上存在最大值和最小值，使得，将不等式两边同时乘以，得到：
，
,对上式在上取积分得
若，上式等号成立，，定理显然成立。
若，不等式两边同除以，有
由介值定理，存在ε∈[a,b]，使得，即。定理得证。
应用实例
求极限。
解：取为，，，则，，并有
由于有界，因此
即原式的极限为0。
积分第一中值定理
将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法
积分第一中值定理是积分中值定理的推广之一，此外还有积分第二中值定理。积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法。是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。研究了第一积分中值定理"中值点"ξ和推广的第一积分中值定理"中值点"ξ的分析性质,证明了ξ具有连续性和可导性。 [1]
- 中文名:积分第一中值定理
- 外文名:First mean value theorem for definite integrals
- 别名:First Integration Mid-value Theorem
- 表达式:
- 提出者:
- 适用领域:微积分
- 应用学科:数学
