数列通项公式:数学公式-中文百科频道

求法

等差数列

an=a1+(n-1)d，（n为正整数）

a1为首项，an为第n项的通项公式，d为公差。

前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2，（n为正整数）

Sn=n(a1+an)/2 注：n为正整数

若n、m、p、q均为正整数，

若m+n=p+q时，则：存在am+an=ap+aq

若m+n=2p时，则：am+an=2ap

若A、B、C均为正整数，B为中项，B=(A+C)/2

也可推导得Sn=na1+nd(n-1)/2

等比数列

对于一个数列 {a n }，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项 a 1 到第n项 a n 的总和，记为 T n 。那么，通项公式为

(即a1 乘以q 的（n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：

a 2 = a 1 *q,

a 3 = a 2 *q,

a 4 = a 3 *q,

````````

a n = a n-1 *q,

将以上（n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下a n , 右边余下 a1 和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。

此外，当q=1时该数列的前n项和 Tn=a1*n

当q≠1时该数列前n 项的和 T n = a1 * ( 1- q^(n)) / (1-q).

一阶数列

概念

不妨将数列递推公式中同时含有 a n 和a n 1 的情况称为一阶数列，显然，等差数列的递推式为

a n =（ a n-1 ） d , 而等比数列的递推式为 a n = a n-1 *q ；这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶递归数列形式为： a(n 1) = A *a n B ········☉ , 其中A和B 为常系数。那么，等差数列就是A=1 的特例，而等比数列就是B=0 的特例。

思路

基本思路与方法：复合变形为基本数列（等差与等比）模型；叠加消元；连乘消元

思路一：原式复合（等比形式）

可令 a(n 1) - ζ = A * (a n - ζ )········① 是原式②变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出 ζ 的值，整理①式后得 a(n 1) = A*an ζ - A*ζ , 这个式子与原式对比可得，ζ - A*ζ = B

即解出 ζ = B / (1-A)

回代后，令 bn= an - ζ ,那么①式就化为 b(n 1) =A* b n , 即化为了一个以（a1-ζ )为首项，以A为公比的等比数列，可求出bn的通项公式，进而求出 {an} 的通项公式。

思路二：消元复合（消去B）

由 a(n 1) = A *a n B ········ ②有

可得 a(n 1) - a n = A *（ a n - a(n-1））······③

令 bn = a(n 1) - an 后， ③式变为 bn = A* b(n-1) 等比数列，可求出 bn 的通项公式，接下来得到 a n - a(n-1) = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数）的式子，进而使用叠加方法可求出 an

二阶数列

概念

类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有an+2 、an+1、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式：an+2 = A * an+1 +B * an , ( 同样，A，B常系数)

求法

基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项原式复合：令原式变形后为这种形式 a(n 2) - ψ * a(n 1) = ω (a(n 1) - ψ*an)，将该式与原式对比，可得ψ ω = A 且 -（ψ*ω）= B

通过解这两式可得出 ψ与ω的值，令bn=a(n 1) - ψ*an, 原式就变为 b(n 1) = ω * bn 等比数列，可求出bn 通项公式bn = f (n) ，即得到 a(n 1) - ψ*an = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶数列的定义，即只含有a(n 1)和an 两个数列变项，从而实现了“降阶”，化“二阶”为“一阶”，进而求解。