欧拉常数

简介

欧拉常数又称欧拉-马斯克若尼常数，近似值为γ≈0.577215664901532860606512090082402431042159335。

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

概述

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)

欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。

由无穷级数理论可知，调和级数是发散的。但可以证明，

存在极限。由不等式可得

故有下界。而

再一次根据不等式取，即可得

所以单调递减。由单调有界数列极限定理，可知必有极限，即

存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。

性质

与伽玛函数的关系

与黎曼函数的关系

积分

级数展开式

连分数展开式（OEIS中的数列A002852）。

渐近展开式

已知位数

欧拉常数约为0.57721566490153286060651209。

日期

位数

计算者

1734年

6

莱昂哈德·欧拉

1736年

15

莱昂哈德·欧拉

1790年

19

Lorenzo Mascheroni

1809年

24

Johann G. von Soldner

1812年

40

F.B.G. Nicolai

1861年

41

Oettinger

1869年

59

William Shanks

1871年

110

William Shanks

1878年

263

约翰·柯西·亚当斯

1962年

1,271

高德纳

1962年

3,566

D.W. Sweeney

1977年

20,700

Richard P. Brent

1980年

30,100

Richard P. Brent和埃德温·麦克米伦

1993年

172,000

Jonathan Borwein

1997年

1,000,000

Thomas Papanikolaou

1998年12月

7,286,255

Xavier Gourdon

1999年10月

108,000,000

Xavier Gourdon和Patrick Demichel

2006年7月16日

2,000,000,000

Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo

2006年12月8日

116,580,041

Alexander J. Yee

2007年7月15日

5,000,000,000

Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo

2008年1月1日

1,001,262,777

Richard B. Kreckel

2008年1月3日

131,151,000

Nicholas D. Farrer

2008年6月30日

10,000,000,000

Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo

2009年1月18日

14,922,244,771

Alexander J. Yee和Raymond Chan

2009年3月13日

29,844,489,545

Alexander J. Yee和Raymond Chan

2011年9月21日

970,258,158

Eric Weisstein [3] 

2013年7月22日

4,851,382,841

Eric Weisstein [3]

计算方法

Xavier Gourdon在1999年使用以下算法计算欧拉常数到了108,000,000位：

对给定的，计算：

则有

其中，

满足方程。

对给定的n，此方法可以得到接近位的十进制小数精度。