起源
複數的概念起源于求方程的根，在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間裡，人們對這類數不能理解。但随着數學的發展，這類數的重要性就日益顯現出來。
發展簡況
複變函數論産生于十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由複變函數的積分導出的兩個方程。而比他更早時，法國數學家達朗貝爾在他的關于流體力學的論文中，就已經得到了它們。因此，後來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。
複變函數論的全面發展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣，複變函數這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認複變函數論是最豐饒的數學分支，并且稱為這個世紀的數學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。
為複變函數論的創建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也随後研究過複變函數的積分，他們都是創建這門學科的先驅。
後來為這門學科的發展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數學家維爾斯特拉斯。二十世紀初，複變函數論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數學家列夫勒、法國數學家龐加萊、阿達瑪等都作了大量的研究工作，開拓了複變函數論更廣闊的研究領域，為這門學科的發展做出了貢獻。
複變函數論在應用方面，涉及的面很廣，有很多複雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區域，對它們的計算就是通過複變函數來解決的。
比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用複變函數論解決了飛機機翼的結構問題，他在運用複變函數論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。
複變函數論不但在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經深入到微分方程、積分方程、概率論和數論等學科，對它們的發展很有影響。
内容
複變函數論主要包括單值解析函數理論、黎曼曲面理論、幾何函數論、留數理論、廣義解析函數等方面的内容。
如果當函數的變量取某一定值的時候，函數就有一個唯一确定的值，那麼這個函數解就叫做單值解析函數，多項式就是這樣的函數。
複變函數研究多值函數，黎曼曲面理論是研究多值函數的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數，如果能作出它的黎曼曲面，那麼，函數在黎曼曲面上就變成單值函數。
黎曼曲面理論是複變函數域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深奧的函數的解析性質和幾何聯系起來。現時，關于黎曼曲面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響，逐漸地趨向于讨論它的拓撲性質。
複變函數論中用幾何方法來說明、解決問題的内容，一般叫做幾何函數論，複變函數可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函數所實現的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場 、電路理論等方面都得到了廣泛的應用。
留數理論是複變函數論中一個重要的理論。留數也叫做殘數，它的定義比較複雜。應用留數理論對于複變函數積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數定積分，可以化為複變函數沿閉回路曲線的積分後，再用留數基本定理化為被積分函數在閉合回路曲線内部孤立奇點上求留數的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。
把單值解析函數的一些條件适當地改變和補充，以滿足實際研究工作的需要，這種經過改變的解析函數叫做廣義解析函數。廣義解析函數所代表的幾何圖形的變化叫做拟保角變換。解析函數的一些基本性質，隻要稍加改變後，同樣适用于廣義解析函數。
廣義解析函數的應用範圍很廣泛，不但應用在流體力學的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在應用。因此，這些年來這方面的理論發展十分迅速。
從柯西算起，複變函數論已有170多年的曆史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展，并且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中，它的基礎内容已成為理工科很多專業的必修課程。複變函數論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它将繼續向前發展，并将取得更多應用。
定義
複變數複值函數的簡稱。設A是一個複數集,如果對A中的任一複數z，通過一個确定的規則有一個或若幹個複數w與之對應，就說在複數集A上定義了一個複變函數，記為w=ƒ(z)。這個記号表示,ƒ(z)是z通過規則ƒ而确定的複數。如果記z=x+iy,w=u+iv,那麼複變函數w=ƒ(z)可分解為w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一個複變函數w=ƒ(z)就對應着一對兩個實變數的實值函數。除非有特殊的說明,函數一般指單值函數,即對A中的每一z，有且僅有一個w與之對應。例如，z2是複平面上的複變函數。但
在複平面上并非單值，而是多值函數。對這種多值函數要有特殊的處理方法（見解析開拓、黎曼曲面）。
對于z∈A,ƒ(z)的全體所成的數集稱為A關于ƒ的像，記為ƒ(A)。函數ƒ規定了A與ƒ(A)之間的一個映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射線argz=θ與w平面上的射線argw=2θ對應；如果ƒ(A)∈A*，稱ƒ把A映入A*。如果ƒ(A)=A*，則稱ƒ把A映成A*，此時稱A為A*的原像。對于把A映成A*的映射ƒ，如果z1與z2相異必導緻ƒ(z1)與ƒ(z2)也相異，則稱ƒ是一對一的。在一對一的映射下，對A*上的任一w，A上必有一個z與之對應，稱此映射為ƒ的反函數，記為
z=ƒ-1(w)。
設ƒ(z)是A上的複變函數,α是A中一點。如果對任一正數ε，都有正數δ，當z∈A且|z-α|<δ時,|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立，則稱ƒ(z)在α處是連續的。如果在A上處處連續,則稱為A上的連續函數或連續映射。設ƒ是緊集A上的連續函數，則對任一正數ε，必存在不依賴自變數z的正數δ,當z1，z2∈A且|z1-z2<δ時|
ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。這個性質稱為ƒ(z)在A上的一緻連續性或均勻連續性。
設ƒ(z)是平面開集D内的複變函數。對于z∈D,如果極限存在且有限,則稱ƒ(z)在z處是可導的，此極限值稱為ƒ(z)在z處的導數,記為ƒ┡(z)。這是實變函數導數概念的推廣，但複變函數導數的存在卻蘊含着豐富的内容。這是因為z+h是z的二維鄰域内的任意一點，極限的存在條件比起一維的實數情形要強得多。
一個複變函數如在z的某一鄰域内處處有導數，則該函數必在z處有高階導數,而且可以展成一個收斂的幂級數（見解析函數）。所以複變函數導數的存在，對函數本身的結構有重大影響，而這些結果的研究，構成了一門學科──複變函數論。
極限與連續性
設函數 w = f(z) 在集 E 上确定, z0 為 E 之聚點, α 為一複常數. 如果 ∀ε 0, ∃δ > 0, 當 z ∈ E 且 0 < |z - z0| < δ 時, 有
| f(z) - α | < ε
則稱當 z 趨于 z0 時, f(z) 有極限 α. 記作 lim f(z) (z→z0) = α .
複變函數的導數
設 f(z) 是在區域 D 内确定的單值函數, 并且 z0 ∈ D, 如果lim (f(z)-f(z0))/(z-z0) (z→z0)
存在且等于複變函數的有限複數 α. 則稱f(z) 在 z0 點可導或者可微, 或稱有導數 α, 記作 f’(z0).
複變函數的積分定理：
柯西積分定理。
