發展簡史
我們知道，大數定律研究的是随機現象統計規律性的一類定理，當我們大量重複某一相同的實驗的時候，其最後的實驗結果可能會穩定在某一數值附近。就像抛硬币一樣，當我們不斷地抛，抛個上千次，甚至上萬次，我們會發現，正面或者反面向上的次數都會接近一半。除了抛硬币，現實中還有許許多多這樣的例子，像擲骰子，最著名的實驗就是蒲豐投針實驗。這些實驗都像我們傳達了一個共同的信息，那就是大量重複實驗最終的結果都會比較穩定。那穩定性到底是什麼？怎樣去用數學語言把它表達出來？這其中會不會有某種規律性？是必然的還是偶然的？
這一系列問題其實就是大數定律要研究的問題。很早的時候，人們其實就發現了這一規律性現象，也有不少的數學家對這一現象進行了研究，這其中就包括伯努利（後來人們為了紀念他，都認為他是第一個研究這一問題的人，其實在他之前也早有數學家研究過）。伯努利在1713年提出了一個極限定理，當時這個定理還沒有名稱，後來人們稱這個定理為伯努利大數定律。因此概率論曆史上第一個有關大數定律的極限定理是屬于伯努利的，它是概率論和數理統計學的基本定律，屬于弱大數定律的範疇。
當大量重複某一實驗時，最後的頻率無限接近事件概率。而伯努利成功地通過數學語言将現實生活中這種現象表達出來，賦予其确切的數學含義。他讓人們對于這一類問題有了新的認識，有了更深刻的理解，為後來的人們研究大數定律問題指明了方向，起到了引領作用，其為大數定律的發展奠定了基礎。除了伯努利之外，還有許許多多的數學家為大數定律的發展做出了重要的貢獻，有的甚至花了畢生的心血，像德莫佛—拉普拉斯，李雅普諾夫，林德伯格，費勒，切比雪夫，辛欽等等。這些人對于大數定律乃至概率論的進步所起的作用都是不可估量的。
1733年，德莫佛—拉普拉斯經過推理證明，得出了二項分布的極限分布是正态分布的結論，後來他又在原來的基礎上做了改進，證明了不止二項分布滿足這個條件，其他任何分布都是可以的，為中心極限定理的發展做出了偉大的貢獻。在這之後大數定律的發展出現了停滞。直到20世紀，李雅普諾夫又在拉普拉斯定理的基礎上做了自己的創新，他得出了特征函數法，将大數定律的研究延伸到函數層面，這對中心極限定理的發展有着重要的意義。到1920年，數學家們開始探讨中心極限定理在什麼條件下普遍成立，這才有了後來發表的林德伯格條件和費勒條件，這些成果對中心極限定理的發展都功不可沒。
經過幾百年的發展，大數定律體系已經很完善了，也出現了更多更廣泛的大數定律，例如切比雪夫大數定律，辛欽大數定律，泊松大數定律，馬爾科夫大數定律等等。正是這些數學家們的不斷研究，大數定律才得以如此迅速發展，才得以完善。
定理定義
概率論的基本定律之一，指關于大量的随機現象具有穩定性質的法則。它說明，如果被研究現象的總體是由大量的相互獨立的随機因素所形成的，而且每個随機因素對總體的影響都相對地比較小，這時對大量因素加以綜合平均，上述因素的個别影響就将互相抵消并顯現出它們共同作用的傾向，使總體具有穩定的性質。
驗證推導
車比雪夫
設随機變相互獨立，它們的數學期望依次為方差依次為而且存在正常數，使得對一切有，則對任意給定的正常數，恒有.證設，則的數學期望和方差分别為:，.由車比雪夫不等式，對任意給定的正數，有，即.對不等式取極限，則得。
辛欽
設是相互獨立的随機變量，而且有相同的分布，具有有限的數學期望，則對任意給定的正數，有，其中.注:定理2中條件比定理1的條件要寬，在定理1中要求方差有限，而定理2不需要這個條件.證因為是具有相同分布的随機變量序列，故它們有相同的特征函數.設它們的特征函數為，由于存在，故有展開式:，其中表示關于的高階無窮小量.再由獨立性知，的特征函數為:.對任意取定的數，有operatorname{limn} 而是連續函數，且是單點分布的特征函數，由逆極限定理知:的分布函數弱收斂于.其中，，因此，，由(2)式知:
貝努利
設是次獨立試驗中事件發生的次數，是事件在每次試驗中發生的概率，則對任意給定的正數，有.此定理表明:當很大時，重貝努利試驗中事件發生的頻率幾乎等于事件在每次試驗中發生的概率，這個定理以嚴格的數學形式刻畫了頻率的穩定性，因此，在實際應用中，當試驗次數很大時，便可以用事件發生的頻率來代替事件的概率.證作一次觀察時是定值，作多次觀察時是随機變量，而且，在車比雪夫不等式中，取, 則 , 于是對任意給定的正 數，有 ， 因而。
泊松
設是相互獨立的随機變量，則服從大數定律.證由定理所設可得:，.由車比雪夫不等式得，對任意，有.兩邊取極限得。
馬爾可夫
設是随機變量序列，若，則服從大數定律.證由車比雪夫不等式得，取極限得:。
定理意義
大數定律以嚴格的數學形式表達了随機現象最根本的性質———平均結果的穩定性，它是随機現象統計規律性的具體表現.因此，大數定律在理論和實際中都有廣泛的應用。
舉例說明
例如，在重複投擲一枚硬币的随機試驗中，觀測投擲了n次硬币中出現正面的次數。不同的n次試驗，出現正面的頻率（出現正面次數與n之比）可能不同，但當試驗的次數n越來越大時，出現正面的頻率将大體上逐漸接近于1/2。又如稱量某一物體的重量，假如衡器不存在系統偏差，由于衡器的精度等各種因素的影響，對同一物體重複稱量多次，可能得到多個不同的重量數值，但它們的算術平均值一般來說将随稱量次數的增加而逐漸接近于物體的真實重量。
幾乎處處收斂與依概率收斂不同。生活例子：開始上課了，慢慢地大家都安靜下來，這是幾乎處處收斂。絕大多數同學都安靜下來，但每一個人都在不同的時間不安靜，這是依概率收斂。
還有大數定律在保險業應用也十分廣泛。大數定律又稱大數法則。人們在長期的實踐中發現，在随機現象的大量重複中往往出現幾乎必然的規律，即大數法則。此法則的意義是：風險單位數量愈多，實際損失的結果會愈接近從無限單位數量得出的預期損失可能的結果。據此，保險人就可以比較精确的預測危險，合理的厘定保險費率，使在保險期限内收取的保險費和損失賠償及其它費用開支相平衡。大數法則是近代保險業賴以建立的數理基礎。保險公司正是利用在個别情形下存在的不确定性将在大數中消失的這種規則性，來分析承保标的發生損失的相對穩定性。按照大數法則，保險公司承保的每類标的數目必須足夠大，否則，缺少一定的數量基礎，就不能産生所需要的數量規律。但是，任何一家保險公司都有它的局限性，即承保的具有同一風險性質的單位是有限的，這就需要通過再保險來擴大風險單位及風險分散面。
