基本介紹
正弦函數y=sinx，x∈[-½π,½π]的反函數叫做反正弦函數，記作y=arcsinx，x∈[-1,1]。
習慣上用x表示自變量，用y表示因變量(函數值)，所以反正弦函數寫成y=arcsinx的形式
請注意正弦函數y=sinx，x∈R因為在整個定義域上沒有一一對應關系，所以不存在反函數。
反正弦函數隻對這樣一個函數y=sinx，x∈[-½π,½π]成立，這裡截取的是正弦函數靠近原點的一個單調區間，叫做正弦函數的主值區間。
理解 函數y=arcsinx中，y表示的是一個弧度制的角，自變量x是一個正弦值，siny=x或x=siny更易理解。
性質
根據反函數的性質，易得函數y=arcsinx的
arcsinx的含義：
（1）這裡的x滿足；
（2）arcsinx是（主值區）上的一個角（弧度數）；
（3）這個角（弧度數）的正弦值等于x，即sin（arcsinx）=x.
函數圖象：我們知道這個結論“函數y=f（x）的圖象和它的反函數y=f-1（x）的圖象關于直線y=x對稱”，先畫出函數y=sinx在上的圖象，用平闆玻璃或透明紙畫好圖象，翻轉過來，從圖象上我們可以得到以下兩個結論：
（1）反正弦函數y=arcsinx在區間【-1，1】上是增函數；
（2）反正弦函數y=arcsinx的圖象關于原點對稱，這說明它是奇函數，也就是arcsin（-x）=-arcsinx，x∈【-1，1】.
恒等式
sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1](arcsinx)'=1/√(1-x^2)
arcsinx=-arcsin(-x)
arcsin（sinx)=x ，x屬于[-π/2，π/2]
圖像
我們知道這個結論函數f(x)的圖像和它的反函數的圖像關于直線y=x對稱”，
先畫出函數y=sinx在[－π/2，π/2]上的圖像，用平闆玻璃或透明紙畫好圖像，翻轉過來。
證明
單調性
在x，y∈[-π/2,π/2]x
sinx-siny=2sin[(x-y)/2]cos[(x+y)/2]
∵2sin[(x-y)/2]∈[-π,0]<>0
cos[(x+y)/2]∈[-π,0]><0
∴sinx-siny<0,sinx
∴在-1
∴是增函數
奇偶性
∵y=sinx,y=x都是奇函數，∴y=arcsinx也是奇函數
應用
臨界角是最少的入射角使得全内反射發生。入射角是由折射界面的法線量度。
其中n2是較低密度介質的折射率，及n1是較高密度介質的折射率。這條方程式是一條斯涅爾定律的簡單應用，當中折射角為90°。 當入射光線是準确的等于臨界角，折射光線會循折射界面的切線進行。以可見光由玻璃進入空氣（或真空）為例，臨界角約為41.5°。
