實值連續函數
最基本也是最常見的連續函數是定義域為實數集的某個子集、取值也是實數的連續函數。例如前面提到的花的高度，就是屬于這一類型。這類函數的連續性可以用直角坐标系中的圖像來表示。一個這樣的函數是連續的，如果粗略地說，它的圖像為一個單一的不破的曲線，并且沒有間斷、跳躍或無限逼近的振蕩。
嚴格來說，設是一個從實數集的子集射到 的函數：。在中的某個點處是連續的當且僅當以下的兩個條件滿足：
1.在點上有定義。
2.是中的一個聚點，并且無論自變量在中以什麼方式接近，的極限都存在且等于。
我們稱函數到處連續或處處連續，或者簡單的稱為連續，如果它在其定義域中的任意一點處都連續。更一般地，當一個函數在定義域中的某個子集的每一點處都連續時，就說這個函數在這個子集上是連續的。
定義
不用極限的概念，也可以用下面所謂的方法來定義實值函數的連續性。
仍然考慮函數。假設是的定義域中的元素。函數被稱為是在點連續當且僅當以下條件成立：
對于任意的正實數，存在一個正實數 使得對于任意定義域中的，隻要滿足就有 成立。
連續性的“定義”由柯西首先給出。
更直觀地，函數是連續的當且僅當任意取一個中的點的鄰域 ，都可以在其定義域 中選取點的足夠小的鄰域，使得的鄰域在函數上的映射下都會落在的鄰域之内。
以上是針對單變量函數（定義域在上的函數）的定義，這個定義在推廣到多變量函數時也是成立的。度量空間以及拓撲空間之間的連續函數定義見下一節。
例子
所有多項式函數都是連續的。各類初等函數，如指數函數、對數函數、平方根函數與三角函數在它們的定義域上也是連續的函數。
絕對值函數也是連續的。
定義在非零實數上的倒數函數f= 1/x是連續的。但是如果函數的定義域擴張到全體實數，那麼無論函數在零點取任何值，擴張後的函數都不是連續的。
非連續函數的一個例子是分段定義的函數。例如定義f為：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-鄰域使所有f(x)的值在f(0)的ε鄰域内。直覺上我們可以将這種不連續點看做函數值的突然跳躍。
另一個不連續函數的例子為符号函數。
連續函數的性質
如果兩個函數f和g是連續的，為一個實數，那麼、和是連續的。所有連續函數的集合構成一個環，也構成一個向量空間（實際上構成一個代數）。如果對于定義域内的所有，都有，那麼也是連續的。兩個連續函數的複合函數也是連續函數。
如果實函數f在閉區間内連續，且是某個和之間的數，那麼存在某個 内的，使得，這個定理稱為介值定理。例如，如果一個小孩在五歲到十歲之間身高從1米增長到了1.5米，那麼期間一定有某一個時刻的身高正好是1.3米。
如果f在内連續，且和一正一負，則中間一定有某一個點，使得 。這是介值定理的一個推論。
如果f在閉區間内連續，則它一定取得最大值，也就是說，總存在，使得對于所有的，有 。同樣地，函數也一定有最小值。這個定理稱為極值定理。（注意如果函數是定義在開區間内，則它不一定有最大值和最小值，例如定義在開區間(0,1)内的函數 。）
如果一個函數在定義域中的某個點 可微，則它一定在點 連續。反過來不成立；連續的函數不一定可微。例如，絕對值函數在點連續，但不可微。
度量空間之間的連續函數
考慮從度量空間到另一個度量空間的函數。
在 是連續的，則對任何實數，存在一個實數使得，隻要滿足，就滿足。
這個定義可以用序列與極限的語言重述：
如果函數在點連續，則對中任何序列 ，隻要，就有。連續函數将極限變成極限。
後一個條件可以減弱為：
在 點連續，當且僅當對中任何序列，，隻要，就滿足序列是一個柯西序列。連續函數将收斂序列變成柯西序列。
拓撲空間之間的連續函數
如上連續函數的定義可以自然地推廣到一個拓撲空間到另一拓撲空間的函數：函數，這裡與是拓撲空間是連續的當且僅當任何開集的逆像是中的開集。
