曆史
1801年，意大利天文學家朱賽普·皮亞齊發現了第一顆小行星谷神星。經過40天的跟蹤觀測後，由于谷神星運行至太陽背後，使得皮亞齊失去了谷神星的位置。随後全世界的科學家利用皮亞齊的觀測數據開始尋找谷神星，但是根據大多數人計算的結果來尋找谷神星都沒有結果。時年24歲的高斯也計算了谷神星的軌道。奧地利天文學家海因裡希·奧爾伯斯根據高斯計算出來的軌道重新發現了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法發表于1809年他的着作《天體運動論》中。
法國科學家勒讓德于1806年獨立發明“最小二乘法”，但因不為世人所知而默默無聞。
勒讓德曾與高斯為誰最早創立最小二乘法原理發生争執。
1829年，高斯提供了最小二乘法的優化效果強于其他方法的證明，因此被稱為高斯-馬爾可夫定理。（來自于wikipedia）
原理
在我們研究兩個變量（x,y）之間的相互關系時，通常可以得到一系列成對的數據（x1,y1.x2,y2...xm,ym）；将這些數據描繪在x-y直角坐标系中，若發現這些點在一條直線附近，可以令這條直線方程如（式1-1）。
其中：a0、a1是任意實數
為建立這直線方程就要确定a0和a1，應用《最小二乘法原理》，将實測值Yi與利用計算值Yj（Yj=a0+a1X）（式1-1）的離差（Yi-Yj）的平方和
最小為“優化判據”。
把（式1-1）代入（式1-2）中得：
當最小時，可用函數φ對a0、a1求偏導數，令這兩個偏導數等于零。
∑（a0+a1*Xi-Yi）=0（式1-4)
∑Xi（a0+a1*Xi-Yi）=0（式1-5)
亦即：
na0+（∑Xi)a1=∑Yi（式1-6)
（∑Xi)a0+（∑Xi^2)a1=∑（Xi*Yi)（式1-7)
得到的兩個關于a0、a1為未知數的兩個方程組，解這兩個方程組得出：
a0=（∑Yi)/n-a1（∑Xi)/n（式1-8)
a1=[n∑(XiYi)-（∑Xi∑Yi)]/[n∑(Xi^2)-（∑Xi)^2)]（式1-9)
這時把a0、a1代入（式1-1）中，此時的(式1-1）就是我們回歸的一元線性方程即：數學模型。
在回歸過程中，回歸的關聯式不可能全部通過每個回歸數據點（x1,y1.x2,y2...xm,ym），為了判斷關聯式的好壞，可借助相關系數“R”，統計量“F”，剩餘标準偏差“S”進行判斷；“R”越趨近于1越好；“F”的絕對值越大越好；“S”越趨近于0越好。
R=[∑XiYi-m（∑Xi/m）（∑Yi/m)]/SQR{[∑Xi2-m（∑Xi/m)2][∑Yi2-m（∑Yi/m)2]}（式1-10)*
在（式1-10）中，m為樣本容量，即實驗次數；Xi、Yi分别為任意一組實驗數據X、Y的數值。
公式
最小二乘法公式
注：以下“平”是指某參數的算數平均值。如：X平——x的算術平均值。
1、∑（X--X平）（Y--Y平）=
∑（XY--X平Y--XY平+X平Y平）=
∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=
∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平；
2、∑（X--X平）^2=
∑（X^2--2XX平+X平^2)=
∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2；
3、Y=kX+b
k=（（XY）平--X平*Y平）/（（X^2）平--(X平）^2），
=Y平--kX平；
X平=1/n∑Xi，
(XY）平=1/n∑XiYi；
拟合
對給定數據點{(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m），在取定的函數類Φ中，求p(x）∈Φ，使誤差的平方和E^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。從幾何意義上講，就是尋求與給定點{(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m）的距離平方和為最小的曲線y=p(x)。函數p(x)稱為拟合函數或最小二乘解，求拟合函數p(x)的方法稱為曲線拟合的最小二乘法。
最小二乘法的矩陣形式
最小二乘法的矩陣形式為：
其中為的矩陣，為的列向量，為的列向量。如果（方程的個數大于未知量的個數），這個方程系統稱為矛盾方程組（OverDeterminedSystem），如果（方程的個數小于未知量的個數），這個系統就是UnderDeterminedSystem。
正常來看，這個方程是沒有解的，但在數值計算領域，我們通常是計算，解出其中的。比較直觀的做法是求解，但通常比較低效。其中一種常見的解法是對進行QR分解（），其中是正交矩陣（OrthonormalMatrix），是上三角矩陣（UpperTriangularMatrix），則有用MATLAB命令可解得。
最小二乘法的Matlab實現
①一次函數線性拟合使用polyfit（x,y,1）
②多項式函數線性拟合使用polyfit（x,y,n），n為次數
拟合曲線
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。
解：MATLAB程序如下：
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
p=polyfit(x,y,2)
x1=0.5:0.5:3.0;
y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
計算結果為：
p=0.56140.82871.1560
即所得多項式為y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560
③非線性函數使用
lsqcurvefit(fun,x0,x,y)
a=nlinfit(x,y,fun,b0)
最小二乘法在交通運輸學中的運用
交通發生預測的目的是建立分區産生的交通量與分區土地利用、社會經濟特征等變量之間的定量關系，推算規劃年各分區所産生的交通量。因為一次出行有兩個端點，所以我們要分别分析一個區生成的交通和吸引的交通。交通發生預測通常有兩種方法：回歸分析法和聚類分析法。
回歸分析法是根據對因變量與一個或多個自變量的統計分析，建立因變量和自變量的關系，最簡單的情況就是一元回歸分析，一般式為：Y=α+βX式中Y是因變量，X是自變量，α和β是回歸系數。若用上述公式預測小區的交通生成，則以下标i标記所有變量；如果用它研究分區交通吸引，則以下标j标記所有變量。而運用公式的過程中需要利用最小二乘法來求解，上述公式中的回歸系數根據最小二乘法可得：
其中，式中的X拔是規劃年的自變量值，Y拔是規劃年分區交通生成（或吸引）預測值。
