角平分線

定義

1.從一個角的頂點引出一條射線（線在角内），把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線(bisector of angle)。

2.角平分線是在角的型内及形上，到角兩邊距離相等的點的軌迹。

性質

角平分線可以得到兩個相等的角；角平分線上的點到角兩邊的距離相等；三角形的三條角平分線交于一點，稱作内心。内心到三角形三邊的距離相等；三角形一個角的平分線，把對邊所分成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例。

判定

角的内部到角的兩邊距離相等的點，都在這個角的平分線上。

因此根據直線公理。

證明：已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求證：OC平分∠AOB

證明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：

OP=OP，PD=PE

∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）

∴∠1=∠2

∴ OC平分∠AOB

角平分線定義

在三角形中的定義。

三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連結這個角的頂點和與對邊交點的線段叫做三角形的角平分線（也叫三角形的内角平分線）。 由定義可知，三角形的角平分線是一條線段。 由于三角形有三個内角，所以三角形有三條角平分線。三角形的角平分線交點一定在三角形内部。

角平分線性質

在三角形中的性質。

1.三角形的三條角平分線交于一點，且到各邊的距離相等.這個點稱為内心 (即以此點為圓心可以在三角形内部畫一個内切圓)。

2.三角形内角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。

若AD是△ABC的角平分線，則 BD/DC=AB/AC 。

證明：作CE∥AD交BA延長線于E。

∵CE∥AD

∴△BDA∽△BCE

∴BA/BE=BD/BC

∴ BA/AE=BD/DC

∵CE∥AD

∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∴ ∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E

即∠ACE=∠E

∴ AE=AC

又∵BA/AE=BD/DC

∴BA/AC=BD/DC

以上均為初中階段知識點及證法，詳見“角平分線定理”“三角形角平分線”。

作法

方法一：1.以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交角AOB兩邊 于點M，N。

2.分别以點M，N為圓心，以大于1/2MN的長度為半徑畫弧， 兩弧交于點P。

3.作射線OP。

射線OP即為所求。

證明：連接PM,PN

在△POM和△PON中

∵OM=ON,PM=PN,PO=PO

∴△POM≌△PON(SSS)

∴∠POM=∠PON，即射線OP為角AOB的角平分線

當然，角平分線的作法有很多種。下面再提供一種尺規作圖的方法供參考。

方法二：1.在兩邊OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD；

2.連接CN與DM，相交于P；

3.作射線OP。

射線OP即為所求。

性質

角平分線可以得到兩個相等的角；角平分線上的點到角兩邊的距離相等；三角形的三條角平分線交于一點，稱作内心。内心到三角形三邊的距離相等；三角形一個角的平分線，把對邊所分成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例。

内心

任意三角形ABC中，、、角平分線交于一點I，則我們稱此點I為三角形ABC的内心。

三角形的内心恒在圖形内部，且到三角形之三邊距離等長。