周長公式
用a表示橢圓長半軸的長，b表示橢圓短半軸的長，且a>b>0。橢圓周長公式：L=2πb+4(a-b)。
周長定理
橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長（2πb）加上四倍的該橢圓長半軸長（a）與短半軸長（b）的差。嚴格來說橢圓周長沒有精确的初等公式，但有非初等的橢圓積分形式的表達及其級數展開式，十分複雜。
曆史
最早由阿貝爾)提出，歐拉發展。
對這類問題的讨論引出一門數學分支－－橢圓積分(變分法)，仍然方興未艾。
以下是幾個比較簡單的近似公式：
公式一至公式六為一般精度，滿足簡單計算需要；
公式八為高精度，滿足比較專業一些的計算需要。
橢圓周長公式：L=2πb+4（a-b）
這些公式均符合橢圓的基本規律,當a=b時，L=2aπ。
計算
一、L1=π·qn/atan(n)
(b→a，q=a+b，n=((a-b)/a))^2
這是根據圓周長和割圓術原理推導的，精度一般。
二、L2=π·θ/(π/4)·(a-c+c/sinθ)
(b→0，c=√(a^2-b^2)，θ=acos((a-b)/a)^1.1)
這是根據兩對扇形組成橢圓得特點推導的，精度一般。
三、L3=π·q(1+mn)
(q=a+b，m=4/π-1，n=((a-b)/a)^3.3)
這是根據圓周長公式推導的，精度一般。
四、L4=π·√(2a^2+2b^2)·(1+mn)
(m=2√(2/π)-1，n=((a-b)/a)^2.05)
這是根據橢圓a=b時得基本特點推導的，精度一般。
五、L5=√(4ab·π^2+15(a-b)^2)·(1+mn)
(m=4/√(15)-1，n=((a-b)/a)^9)
這是根據橢圓a=b，c=0時是特點推導的，精度較好。
六、L6=π√[2(a^2+b^2)](較近似)
七、L7=π[3/2(a+b)-√(ab)](較精确)
八、L8=π·q(1+3h/(10+√(4-3h)))·(1+mn)
(q=a+b，h=((a-b)/(a+b))^2，m=22/7π-1，n=((a-b)/a)^33.697)
這是根據橢圓标準公式提煉的，精度很高。
九、一個高精度的橢圓周長初等公式，精确度可由使用者自由控制，點擊圖片查看。
橢圓周長（弧長）涉及第二類橢圓積分，原函數無法以初等函數的形式表達。在Matlab，maple等數學軟件中可以直接調用第二類橢圓積分函數求得。建議閱讀《特殊函數》，王竹溪，郭敦仁編着；劉式适、劉式達編着版本指明了第二類橢圓積分的幾何意義即為橢圓弧長問題。外文文獻也很多。
十、精确度最高的橢圓周長公式。首先複制下列字符，把a、b改成你想要的數字，再粘貼到百度計算器高級輸入欄按等号即可。該橢圓周長公式精确度約十億分之一，為目前世界上不用程序即可計算的精确度最高的公式。當b/a很小時，精确度是公式八的一萬倍。當b/a約為0.01時，精确度相當于用程序計算項名達公式1000倍。(該公式發明人周钰承）。
pi*(a+b)*(1+3*((a-b)/(a+b))^2/(10+sqrt(4-3*((a-b)/(a+b))^2))+(4/pi-14/11)*((a-b)/(a+b))^(14.233+13.981*((a-b)/(a+b))^6.42))
例如：若a=4，b=1時，把下式粘貼到百度高級輸入欄OK.
pi*(4+1)*(1+3*((4-1)/(4+1))^2/(10+sqrt(4-3*((4-1)/(4+1))^2))+(4/pi-14/11)*((4-1)/(4+1))^(14.233+13.981*((4-1)/(4+1))^6.42))
