定義
二分法（Bisection method） 即一分為二的方法. 設[a，b]為R的閉區間. 逐次二分法就是造出如下的區間序列([an，bn])：a0=a，b0=b，且對任一自然數n，[an+1，bn+1]或者等于[an，cn]，或者等于[cn，bn]，其中cn表示[an，bn]的中點.
典型算法
算法：當數據量很大适宜采用該方法。采用二分法查找時，數據需是排好序的。
基本思想：假設數據是按升序排序的，對于給定值key，從序列的中間位置k開始比較，
如果當前位置arr[k]值等于key，則查找成功；
若key小于當前位置值arr[k]，則在數列的前半段中查找,arr[low,mid-1]；
若key大于當前位置值arr[k]，則在數列的後半段中繼續查找arr[mid+1,high]，
直到找到為止,時間複雜度:O(log(n))。
求法
給定精确度ξ,用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟如下:
1 确定區間[a,b],驗證f(a)·f(b)<0,給定精确度ξ.
2 求區間(a,b)的中點c.
3 計算f(c).
(1) 若f(c)=0,則c就是函數的零點;
(2) 若f(a)·f(c)<0,則令b=c;
(3) 若f(c)·f(b)<0,則令a=c.
(4) 判斷是否達到精确度ξ:即若|a-b|<ξ,則得到零點近似值a(或b),否則重複2-4.
計算機應用
由于計算過程的具體運算複雜，但每一步的方式相同，所以可通過編寫程序來運算。
Java語言
public int binarySearch(int[] data,int aim){//以int數組為例，aim為需要查找的數
int start = 0;
int end = data.length-1;
int mid = (start+end)/2;//a
while(data[mid]!=aim&&end>start){//如果data[mid]等于aim則死循環，所以排除
if(data[mid]>aim){
end = mid-1;
}else if(data[mid]
start = mid+1;
}
mid = (start+end)/2;//b，注意a，b
}
return (data[mid]!=aim)?-1:mid;//返回結果
}
- //針對已經排序好的數組進行查找（對上面代碼進行的改進）publicstaticbooleanbinarySearch(int[]array,inttarget){intleft=0;intright=array.length-1;intmid=(left+right)/2;while(array[mid]!=target&&right>left){if(array[mid]>target){right=mid-1;}elseif(array[mid]
C語言
方程式為：f(x) = 0，示例中f(x) = 1+x-x^3
使用示例：
input a b e: 1 2 1e-5
solution: 1.32472
源碼如下：
- #include
C++語言
[類C編寫].
|f(x)|<10^-5 f(x)=2x^3-4x^2+3x-6
- #include
C++語言中的二分查找法
算法：當數據量很大适宜采用該方法。采用二分法查找時，數據需是排好序的。
基本思想：假設數據是按升序排序的，對于給定值x，從序列的中間位置開始比較，如果當前位置值等于x，則查找成功；若x小于當前位置值，則在數列的前半段中查找；若x大于當前位置值則在數列的後半段中繼續查找，直到找到為止。
假如有一組數為3，12，24，36，55，68，75，88要查給定的值24.可設三個變量front，mid，end分别指向數據的上界，中間和下界，mid=（front+end）/2.
1.開始令front=0（指向3），end=7（指向88），則mid=3（指向36）。因為mid>x，故應在前半段中查找。
2.令新的end=mid-1=2，而front=0不變，則新的mid=1。此時x>mid，故确定應在後半段中查找。
3.令新的front=mid+1=2，而end=2不變，則新的mid=2，此時a[mid]=x，查找成功。
如果要查找的數不是數列中的數，例如x=25，當第三次判斷時，x>a[mid]，按以上規律，令front=mid+1，即front=3，出現front>end的情況，表示查找不成功。
例：在有序的有N個元素的數組中查找用戶輸進去的數據x。
算法如下：
1.确定查找範圍front=0，end=N-1，計算中項mid（front+end）/2。
2.若a[mid]=x或front>=end,則結束查找；否則，向下繼續。
3.若a[mid]
代碼：
#include
#define N 10
using namespace std;
int main()
{
int a[N],front,end,mid,x,i;
cout<<"請輸入已排好序的a數組元素:"<
for(i=0;i
cin>>a[i];
cout<<"請輸入待查找的數x:"<
cin>>x;
front=0;
end=N-1;
mid=(front+end)/2;
while(front
{
if(a[mid]
if(a[mid]>x)end=mid-1;
mid=front + (end - front)/2;
}
if(a[mid]!=x)
cout<<"沒找到！"<
else
cout<<"找到了！在第"<
return 0;
}
MATLAB語言
function y=f(x)
y=f(x); %函數f(t)的表達式
i=0; %二分次數記數
a=a; %求根區間左端
b=b; %求根區間右端
fa=f(a); %計算f(a)的值
fb=f(b); %計算f(b)的值
c=(a+b)/2; %計算區間中點
fc=f(c); %計算區間中點f(c)
while abs(fc)>=ε; %判斷f(c)是否為零點
if fa*fc>=0; %判斷左側區間是否有根
fa=fc;
a=c;
else fb=fc;
b=c;
end
c=(a+b)/2;
fc=f(c);
i=i+1;
end
fprintf('n%s%.6ft%s%d',c,'叠代次數i=',i) %計算結果輸出
快速排序僞代碼（非随機）
下面的過程實現快速排序：
QUICKSORT(A，p，r)
1 ifp
2 thenq ← PARTITION(A，p，r)
3 QUICKSORT(A，p，q-1)
4 QUICKSORT(A，q+1，r)
為排序一個完整的數組A，最初的調用是QUICKSORT(A，1，length[A])。
快速排序算法的關鍵是PARTITION過程，它對子數組A[p..r]進行就地重排：
PARTITION(A，p，r)
1 x ← A[r]
2 i ← p-1
3 forj ← ptor-1
4 do ifA[j]≤x
5 theni ← i+1
6 exchange A[i]←→A[j]
7 exchange A[i+1]←→A[r]
8 returni+1
快速排序僞代碼（随機）
對PARTITION和QUICKSORT所作的改動比較小。在新的劃分過程中，我們在真正進行劃分之前實現交換：
（其中PARTITION過程同快速排序僞代碼（非随機））
RANDOMIZED-PARTITION(A，p，r)
1 i ← RANDOM(p，r)
2 exchange A[r]←→A[i]
3 return PARTITION(A，p，r)
新的快速排序過程不再調用PARTITION，而是調用RANDOMIZED-PARTITION。
RANDOMIZED-QUICKSORT(A，p，r)
1 ifp
2 thenq ← RANDOMIZED-PARTITION(A，p，r)
3 RANDOMIZED-QUICKSORT(A，p，q-1)
4 RANDOMIZED-QUICKSORT(A，q+1，r)
Pascal，遞歸快排1
procedure work(l,r: longint);
var i,j,tmp: longint;
begin
if l
i:=l;j:=r;tmp:=stone[i];
while i
begin
while (i
if(i
begin
stone[i]:=stone[j];
inc(i);
end;
while (i
if i
begin
stone[j]:=stone[i];
dec(j);
end;
end;
stone[i]:=tmp;
work(l,i-1);
work(i+1,r);
end;
end;//本段程序中stone是要排序的數組，從小到大排序，stone數組為longint（長整型）類型。在主程序中的調用命令為“work(1,n);”不含引号。表示将stone數組中的1到n号元素進行排序。
Pascal，遞歸快排2
Program quiksort;
//快速排序法
const max=100;
var n:integer;
a:array[1..max] of longint;
procedure sort(l,r: longint);
var i,j,x,y: longint;
begin
i:=l; j:=r; x:=a[(l+r) div 2];
repeat
while a[i]
while x
if i<=j then
begin
y:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=y;
inc(i); dec(j);
end;
until i>j;
if l
if i
end;
begin
//生成數組;
randomize;
for n:=1 to max do
begin
a[n]:=random(1000);
write(a[n]:5);
end;
writeln;
//排序
sort(1,max);
//輸出
for n:=1 to max do write(a[n]:5);writeln;
end.
Delphi 遞歸快排3
type
TNTA=array of integer;
var
A:TNTA;
procedure QuicSort(var Arr:TNTA;AStart,AEnd:Integer);
var
I,J,Sign:integer;
procedure Switch(A,B:Integer);
var
Tmp:Integer;
begin
Tmp:=Arr[A];
Arr[A]:=Arr[B];
Arr[B]:=Tmp;
end;
begin
if AEnd<=AStart then
Exit;
Sign:=(AStart+AEnd)div 2;
{Switch value}
Switch(Sign,AEnd);
{Start to sort}
J:=AStart;
for I := AStart to AEnd-1 do
begin
if (Arr[I]
begin
Switch(J,I);
Inc(J);
end;
end;
Switch(J,AENd);
QuicSort(Arr,AStart,J);
QuicSort(Arr,J+1,AEnd);
end;
procedure TForm1.btn1Click(Sender: TObject);
const
LEN=10000;
var
I: Integer;
Start:Cardinal;
begin
SetLength(A,LEN);
Randomize;
for I := Low(A) to High(A) do
A[I]:=Random(LEN*10);
Start:=GetTickCount;
QuicSort(A,Low(A),High(A));
ShowMessageFmt('%d large quick sort take time:%d',[LEN,GetTickCount-Start]);
end;
Pascal，非遞歸快排1
var
s:packed array[0..100,1..7]of longint;
t:boolean;
i,j,k,p,l,m,n,r,x,ii,jj,o:longint;
a:packed array[1..200000]of longint;
function check:boolean;
begin
if i>2 then exit(false);
case i of
1:if (s[k,3]
2:if s[k,1]
end;
exit(false);
end;
procedure qs; //非遞歸快速排序
begin
k:=1;
t:=true;
s[k,1]:=1;
s[k,2]:=n;
s[k,3]:=1;
while k>0 do
begin
r:=s[k,2];
l:=s[k,1];
ii:=s[k,3];
jj:=s[k,4];
if t then
if (r-l>30) then
begin
x:=a[(r-l+1)shr 1 +l];
ii:=s[k,1];jj:=s[k,2];
repeat
while a[ii]
while a[jj]>x do dec(jj);
if ii<=jj then
begin
m:=a[ii];
a[ii]:=a[jj];
a[jj]:=m;
inc(ii);dec(jj);
end;
until ii>jj;
s[k,3]:=ii;
s[k,4]:=jj;
end
else begin
for ii:=l to r do
begin
m:=a[ii];jj:=ii-1;
while (m
begin
a[jj+1]:=a[jj];
dec(jj);
end;
a[jj+1]:=m;
end;
t:=false; dec(k);
end;
if t then
for i:=1 to 3 do
if check then break;
if not t then
begin
i:=s[k,5];
repeat
inc(i);
until (i>2)or check;
end;
if i>2 then begin t:=false; dec(k);end
else t:=true;
if t then
begin
s[k,5]:=i;
inc(k);
case i of
1:begin s[k,1]:=s[k-1,3];s[k,2]:=s[k-1,2];end;
2:begin s[k,1]:=s[k-1,1];s[k,2]:=s[k-1,4];end;
end;
end;
end;
end;
begin
readln(n);
for i:=1 to n do read(a[i]);
k:=1;
qs;
for i:=1 to n do //輸出
write(a[i],' ');
writeln;
end.
經測試，非遞歸快排比遞歸快排快。
Pascal，非遞歸快排2
//此段快排使用l隊列儲存待處理範圍
var
a:Array[1..100000] of longint;
l:Array[1..100000,1..2] of longint;
n,i:longint;
procedure fs;//非遞歸快排
var
s,e,k,j,ms,m:longint;
begin
s:=1;e:=1;l[1,1]:=1;l[1,2]:=n;
while s<=e do
begin
k:=l[s,1];j:=l[s,2];m:=random(j-k+1)+k;
ms:=a[m];a[m]:=a[k];
while k
begin
while (k
if k
while (k
if k
end;
a[k]:=ms;
if l[s,1]
if j+1
inc(s);
end;
end;
begin
randomize;
read(n);
for i:=1 to n do read(a[i]);
fs;
for i:=1 to n do write(a[i],' ');
end.
實戰
Problem：大整數開方 NOIP2011普及組初賽完善程序第二題
題目描述
輸入一個正整數n(1
代碼
Const
SIZE = 200;
Type
hugeint = Record
len : Integer;
num : Array[1..SIZE] Of Integer;
End;
//len表示大整數的位數;num[1]表示個位、num[2]表示十位,以此類推
Var
s : String;
i : Integer;
target, left, middle, right : hugeint;
Function times(a, b : hugeint) : hugeint;
// 計算大整數 a 和 b 的乘積
Var
i, j : Integer;
ans : hugeint;
Begin
FillChar(ans, SizeOf(ans), 0);
For i := 1 To a.len Do
For j := 1 To b.len Do
ans.num[i + j - 1] := ans.num[i + j - 1] + a.num[i] * b.num[j];
For i := 1 To a.len + b.len Do
Begin
ans.num[i + 1] := ans.num[i + 1] + ans.num[i] DIV 10;
ans.num[i] := ans.num[i] mod 10;
If ans.num[a.len + b.len] > 0
Then ans.len := a.len + b.len
Else ans.len := a.len + b.len - 1;
End;
times := ans;
End;
Function add(a, b : hugeint) : hugeint;
// 計算大整數 a 和 b 的和
Var
i : Integer;
ans : hugeint;
Begin
FillChar(ans.num, SizeOf(ans.num), 0);
If a.len > b.len
Then ans.len := a.len
Else ans.len := b.len;
For i := 1 To ans.len Do
Begin
ans.num[i] :=ans.num[i] + a.num[i] + b.num[i];
ans.num[i + 1] := ans.num[i + 1] + ans.num[i] DIV 10;
ans.num[i] := ans.num[i] MOD 10;
End;
If ans.num[ans.len + 1] > 0
Then Inc(ans.len);
add := ans;
End;
Function average(a, b : hugeint) : hugeint;
// 計算大整數 a 和 b 的平均數的整數部分
Var
i : Integer;
ans : hugeint;
Begin
ans := add(a, b);
For i := ans.len DownTo 2 Do
Begin
ans.num[i - 1] := ans.num[i - 1] + (ans.num[i] mod 2) * 10;
ans.num[i] := ans.num[i] DIV 2;
End;
ans.num[1] := ans.num[1] DIV 2;
If ans.num[ans.len] = 0
Then Dec(ans.len);
average := ans;
End;
Function plustwo(a : hugeint) : hugeint;
// 計算大整數 a 加 2 後的結果
Var
i : Integer;
ans : hugeint;
Begin
ans := a;
ans.num[1] := ans.num[1] + 2;
i := 1;
While (i <= ans.len) AND (ans.num[i] >= 10) Do
Begin
ans.num[i + 1] := ans.num[i + 1] + ans.num[i] DIV 10;
ans.num[i] := ans.num[i] MOD 10;
Inc(i);
End;
If ans.num[ans.len + 1] > 0
Then inc(ans.len);
plustwo := ans;
End;
Function over(a, b : hugeint) : Boolean;
// 若大整數 a > b 則返回 1, 否則返回 0
Var
i : Integer;
Begin
If (a.len
Begin
over := FALSE;
Exit;
End;
If a.len > b.len Then
Begin
over := TRUE;
Exit;
End;
For i := a.len DownTo 1 Do
Begin
If a.num[i] < b.num[i] Then
Begin
over := FALSE;
Exit;
End;
If a.num[i] > b.num[i] Then
Begin
over := TRUE;
Exit;
End;
End;
over := FALSE;
End;
Begin
Readln(s);
FillChar(target.num, SizeOf(target.num), 0);
target.len := Length(s);
For i := 1 To target.len Do
target.num[i] := Ord(s[target.len - i + 1]) - ord('0');
FillChar(left.num, SizeOf(left.num), 0);
left.len := 1;
left.num[1] := 1;
right := target;
Repeat
middle := average(left, right);
If over(times(middle, middle), target)
Then right := middle
Else left := middle;
Until over(plustwo(left), right);
For i := left.len DownTo 1 Do
Write(left.num[i]);
Writeln;
End.
