貝爾不等式

概念簡介

貝爾不等式

而量子力學預言，在某些情形下，合作的程度會超過貝爾的極限，也即，量子力學的常規觀點要求在分離系統之間合作的程度超過任何“定域實在性”理論中的邏輯許可程度。貝爾不等式提供了用實驗在量子不确定性和愛因斯坦的定域實在性之間做出判決的機會。目前的實驗表明量子力學正确，決定論的定域的隐變量理論不成立。

貝爾不等式不成立意味着，阿爾伯特·愛因斯坦所主張的局域實體論（local realism），其預測不符合量子力學理論。由于很多實驗的結果與量子力學理論的預測一緻，顯示出的量子關聯（quantum correlation）遠強過局域隐變量理論所能夠解釋，所以，物理學者拒絕接受局域實體論對于這些實驗結果的解釋。陷入找不到滿意解答的窘境，倘若不接受量子力學，物理學者隻能無可奈何地勉強承認這是一種非因果關系的超光速效應（superluminal effect）。

貝爾不等式可以應用于任何由兩個相互糾纏的量子位元所組成的量子系統。最常見的範例是糾纏于自旋或偏振的粒子系統。

在貝爾前後，别的物理學家也達到了和貝爾類似的認識，比如，李政道在貝爾之前就認識到具有定域隐變量的體系不可能有中性介子那樣的量子力學關聯。繼貝爾之後，布歌爾(W．Buehel)與維格納(E．P Wigner)等人對貝爾不等式給出了不同的證明，1979年後克勞塞、西蒙尼等人則導出了更為實用的廣義不等式。包括法國物理學家埃斯帕納所作的證明和洪定國所介紹的證明在内，貝爾不等式已有了多種證明方法。

背景概述

貝爾其人

1928年7月28日，約翰·斯圖爾特·貝爾(John Stewart Bell)出生在北愛爾蘭的首府貝爾法斯特。17歲時他進入貝爾法斯特女王大學攻讀物理，貝爾不等式

畢業以後，貝爾先是進入英國原子能研究所(AERE)工作，後來轉去了歐洲核子研究組織(CERN)。他的主要工作集中在加速器和粒子物理領域方面。1952年玻姆隐變量理論問世，這使貝爾感到相當興奮。貝爾覺得，隐變量理論正是愛因斯坦所要求的東西，可以完成對量子力學的完備化。

1963年，貝爾在日内瓦遇到了約克教授，兩人對此進行了深入的讨論，貝爾逐漸形成了他的想法，對EPR佯缪長期的争論很感憂慮。貝爾最初同意玻姆的理論，并沿玻姆的思路進行着研究，認為愛因斯坦的隐變量一定存在着，并且理應在現代物理學框架之内。

1964年，貝爾意外地發現了貝爾不等式以及貝爾不等式實驗驗證的可能性，還有一些帶推測性質的預言。他把論文投寄到科學期刊，但久無回音，原來編輯把它遺忘了。幸運的是編輯又把它重新找到，當正式發表出來，已過了一、二年。

EPR佯謬

“EPR佯謬”是愛因斯坦(Einstein A)，波多爾斯基(Pldolsky B)和羅森(Rosen N)三人，在1935年合寫的《能認為量子力學對物理實在的描述是完備的嗎》的文章中提出來的，以後人們就以三人姓氏的第一個字母合寫作為稱謂。

其經戴維·波姆簡化後的具體内容為：考慮兩個自旋為 1/2的粒子A和B構成的一個體系，在一定的時刻後，使A和B完全分離，不再相互作用。當觀察者測得A自旋的某一分量後，根據角動量守恒，就能确定地預言B在相應EPR佯謬方向上的自旋值。由于測量方向選取的任意性，B自旋在各個方向上的分量應都能确定地預言。所以他們認為，根據上述實在性判據，就應當斷言B自旋在各個方向上的分量同時具有确定的值，都代表物理實在的要素，并且在測量之前就已存在，但量子力學卻不允許同時确定地預言自旋的8個分量值，所以不能認為它提供了對物理實在的完備描述。如果堅持把量子力學看作是完備的，那就必須認為對A的測量可以影響到B的狀态，從而導緻對某種超距作用的承認。

EPR 實在性判據包含着“定域性假設”，即如果測量時兩個體系不再相互作用，那麼對第一個體系所能做的無論什麼事，都不會使第二個體系發生任何實在的變化。人們通常把和這種定域要求相聯系的物理實在觀稱為定域實在論。

隐變量理論

1927年，在布魯塞爾的第五屆索爾維會議上，德布羅意在會上講述了他的“導波”理論。德布羅意不相信玻爾的互補原理，亦即電子同時又是粒子又是波的解釋。德布羅意想象，電子始終是一個實實在在的粒子，但它受到時時伴随着它的那個波的影響。德布羅意認為量子效應表面上的随機性完全是由一些不可知的變量所造成的。假如把那些額外的變量考慮進去，整個系統是确定和可預測的，符合嚴格因果關系的。這樣的理論稱為“隐變量理論”（Hidden Variable Theory）。

玻姆的隐變量理論是德布羅意導波的一個增強版，隻不過他把所謂的“導波”換成了“量子勢”（quantum potential）的概念。在他的描述中，一個電子除了具有通常的一些性質，比如電磁勢之外，還具有所謂的“量子勢”。這其實就是一種類似波動的東西，它按照薛定谔方程發展，在電子的周圍擴散開去。但是，量子勢所産生的效應和它的強度無關，而隻和它的形狀有關，這使它可以一直延伸到宇宙的盡頭，而不發生衰減。

在玻姆理論裡，像電子這樣的基本粒子本質上是一個經典的粒子，但以它為中心發散出一種勢場，使它每時每刻都對周圍的環境了如指掌。當一個電子向一個雙縫進發時，它的量子勢會在它到達之前便感應到雙縫的存在，從而指導它按照标準的幹涉模式行動。如果實驗者試圖關閉一條狹縫，無處不在的量子勢便會感應到這一變化，從而引導電子改變它的行為模式。如果試圖去測量一個電子的具體位置，測量儀器将首先與它的量子勢發生無法直接被觀測的作用。

玻姆理論能夠很大程度上滿足觀測，數學形式卻極為繁瑣。且玻姆在恢複了世界的實在性和決定性之後，卻放棄了另一樣東西：定域性（Locality）。定域性指的是，在某段時間裡，所有的因果關系都必須維持在一個特定的區域内，而不能超越時空來瞬間地作用和傳播。但是在玻姆那裡，他的量子勢可以瞬間傳播粒子所需要的信息。

推導過程

繼續發展愛因斯坦-波多斯基-羅森佯謬（簡稱為EPR佯謬）的論述（但是選擇采用自旋的例子，如同戴維·玻姆版本關于EPR佯謬的論述），貝爾精心設計出一個思想實驗：從衰變生成的兩顆處于單态（singlet state）的自旋1/2粒子會分别朝着相反方向移動，在與衰變地點相隔遙遠的兩個地點，分别三維坐标系測量兩個粒子的自旋，每一次測量得到的結果是“向上自旋”（标計為“+”）或“向下自旋”（标計為“-”）。

假設角動量為零的母粒子衰變成兩個粒子A和B，根據角動量守恒定律，一個光子必具有與另一個光子相同的偏振态，這可以用垂直于粒子路徑的靜止的測量裝置，并在某共同方向（比方說向上）測量其偏振态來加以證實。事實上已發現：當粒子A通過其偏振片時，B也總是通過的，即：發現了100%的關聯。反之，如果偏振片相互垂直安配，那麼，每當A通過則B被擋阻，這時有100%的反關聯。在通常的經典力學中，這也是正确的。測量結果如表格所示：

展開表格

但是當二者不處于平行或垂直，在兩個地點測量得到一緻結果的概率，會因為兩根直軸 a 與 b 之間的夾角角度 θ而變化。現在設定實驗規則，如右圖所示，假設愛麗絲與鮑伯分别獨自在這兩個地點測量，若在某一次測量，愛麗絲測量的結果為向上自旋，而鮑伯測量的結果為向下自旋，則稱這兩個結果一緻，相關系數為"+1"，反之亦然；否則，若愛麗絲與鮑伯測量的結果都為向上自旋或都為向下自旋，則兩個結果不一緻，相關系數為"-1"。那麼，假設 a 與 b 相互平行，則測量這些量子糾纏粒子永遠會得到一緻的結果（完全相關）；假設兩根直軸相互垂直，則隻有50%概率會得到一緻的結果，得到不一緻結果的概率也是50%。測量的結果可以這樣表示：

在空間坐标系XYZ中：

展開表格

假設Pxy的意義是粒子A在x方向上和粒子B在y方向上測量到自旋相同的概率，那麼Pxy=-N1-N2+N3+N4+N5+N6-N7-N8

同理，Pzy=-N1+N2+N3-N4-N5+N6+N7-N8

Pxz=-N1+N2-N3+N4+N5-N6+N7-N8

|Pxz-Pzy|=|-2N3+2N4+2N5-2N6|=2|(N4+N5)-(N3+N6)|<=2[|(N4+N5)|+|(N3+N6)|]

因為所有出現的概率和為1，即N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1 代入上式可得

|Pxz-Pzy|<=(N3+N4+N5+N6)+(1-N1-N2-N7-N8)

所以|Pxz-Pzy|<=1+Pxy

當然，這一推導是被簡化了的。隐變量不一定是離散的，而可以定義為區間λ上的一個連續函數。除此之外，還有集合式、幾何式等證明方法。貝爾原始的證明方法利用了斯特恩-革拉赫裝置中電子運動的性質與自旋态躍遷概率的性質，結合經典概率論證明。除此之外，匈牙利物理學家F. P. 維格納在1970年曾給出對貝爾不等式的“最簡捷的”證明。

他的思路是：先導出兩個Pr (sa = x, tb = y)的表達式，一個表現量子力學的特征，另一個表現定域隐變量理論的特征，然後把貝爾不等式的證明歸結為證明這兩個表達式不能同時成立。詳細的證明方法可以在參考資料及擴展閱讀文獻中找到。

從上述推證中不難看出：貝爾不等式是由一元線性隐變量理論加定域性約束得到的，它表現了該理論對實驗結果的限制情況。如果貝爾不等式成立，就意味着這種形式的隐變量理論也成立，則現有形式的量子力學就不完備。要是實驗拒絕貝爾不等式，則表明量子力學的預言正确，或者是實驗有利于量子力學。幾十年來，人們就把貝爾不等式成立與否作為判斷量子力學與隐變量理論孰是熟非的試金石。貝爾不等式

原始形式

貝爾推導出局域實體論會産生的結果。在這導引内，除了要求基本的一緻化以外，不做任何其它特别的假定，貝爾發現的數學問題，很明顯地不同于量子力學的預測，更不同于稍後得到的實驗觀測結果。這樣，貝爾不等式排除了局域隐變量為量子力學的可信解釋，雖然非局域隐變量理論的大門仍舊敞開無礙。貝爾在一份名為《物理》的雜志的創刊号上，發表了題為《論EPR佯謬》的論文，提出了他的結論，其原始形式是：

某些理論為了确定單獨測量的結果，嚴格要求将額外參數加入量子力學，并且要求這動作不改變統計預測。對于這些理論，必定存在着一種機制，使得一台測量儀器的運作設定值的改變，會影響到另一台測量儀器的讀值，不管兩台儀器之間的距離有多麼遙遠。此外，涉及這機制的訊号必需瞬時地傳播抵達，所以，這些理論不具有洛倫茲不變性。

在這裡，所謂“在量子力學上增添一些參量以确定單次測量的結果的理論”就是“隐變量理論”。另一方面，按照“定域性原理”，當兩個測量儀器相距足夠遠時，一個測量儀器的安置不可能影響另一個儀器的讀數。因此，貝爾的上述結論可表成：“如果一個隐變量理論不改變量子力學的統計預言，就一定會違背定域性原理。”換句話說：“如果一個隐變量理論遵循定域性原理，就一定會改變量子力學的統計預言。”人們把遵循定域性原理的隐變量理論稱為“定域隐變量理論”，于是，貝爾不等式若不滿足則最終表成現在常見的形式：

任何定域隐變量理論不可能重複量子力學的全部統計預言。

圖像形式

如右圖所示，對于自旋的量子相關性（假定100%偵測效率），局域隐變量理論的預測以實線顯示，量子力學預測以虛線顯示。假設兩根直軸的夾角角度 θ 在上述基本案例角度之間，則局域隐變量理論的成立意味着量子相關性呈線性變化。但是根據量子力學理論，量子相關性應呈角度的餘弦cos θ 變化。

實驗驗證

實驗檢驗

由于貝爾不等式驗證條件要求頗高，一直到20世紀70年代此項工作才得以開展起來。從1972年起到世紀末的近30年間，陸續公布了不少驗證貝爾不等式的典型實驗，其中大多數是用孿生光子對做的，因為人們逐漸認識到利用光的偏振性作檢驗更好。1982年，以阿萊恩·阿斯派克特為組長的法國奧賽理論與應用光學研究所裡的一群科學家第一次在精确的意義上對EPR作出檢驗。實驗結果和量子論的預言完全符合，而相對局域隐變量理論的預測卻偏離了5個标準方差。爾後，許多物理學家都重複阿斯派克特的實驗，并且運用更新的手段，使實驗模型越來越靠近愛因斯坦當年那個最原始的EPR設想。1998年，奧地利因斯布魯克大學的科學家們讓光子飛出相距400米，其結果偏離了局域隐變量理論預測30個标準方差。2003年，Pittman和Franson報道了産生于兩個獨立源的光子對于貝爾不等式的違反，等等。

綜合來看，貝爾不等式的驗證工作大緻分為三個階段。從内涵上分，應該稱為“三代檢驗”。第一代檢驗在20世紀70年代上半葉，是用原子的級聯放射産生的關聯光子對做的，實驗在伯克利(Berkeley)、哈佛(Harvard)和得克薩斯(Texas)等地完成。大多數的實驗結果都同量子力學的預期一緻，但由于實驗設計方案離理想實驗較遠，特别是實驗中使用了隻給出“+”通道結果的起偏器，因而有的實驗結果的置信度不可能高。

第二代檢驗開始于20世紀80年代後期，是用非線性激光激勵原子級聯放射産生孿生光子對做的。實驗中采用了雙波導的起偏器，實驗方案也如同EPR理想實驗的一樣，且孿生光子對光源的效率很高，實驗的結果是以10個标準差，明顯地與貝爾不等式不符，而同量子力學預期一緻，令人印象深刻。

第三代驗證實驗開始于20世紀80年代末期，是在馬裡蘭(Maryland)和羅切斯特(Rochester)做的。是采取非線性地分出(Spliting)紫外光子的辦法來産生EPR關聯光子對。用這樣的光子對，測量時可以瞄準偏振或旋轉體中任何一個非連續的變化(就象貝爾考慮的情況)或者瞄準模型連續的變化(如同EPR原先的設想)。這種光子源有一個顯著的優點，就是能夠産生非常細小的兩個關聯光子束，可以輸入到很大長度的光纖中去，因而用光纖聯接的光源和測量裝置之間允許分開很遠(有的甚至超過 10 km)，使驗證實驗更加顯得直接和客觀。

這些年來，貝爾不等式已通過了各種各樣的實驗證僞。很多關于這些實驗的不足之處都已被找到，包括“偵測漏洞”、“通訊漏洞”等等。由于科技的進步，實驗也逐步的改良，更能夠針對這些漏洞給予補足，但是沒有任何實驗能夠完全地補足這些漏洞。至今，有大量實證支持貝爾不等式不成立。主流量子力學教科書将貝爾不成立視為基礎物理定理。但是，沒有任何物理定理能夠毫無疑問的被接受；有些物理學者反駁，隐藏的假定或實驗漏洞否定了理論的正确性。但是，大多數物理學者承認，有很多實驗驗證确定貝爾不等式已被違背。

阿斯派克特實驗

為了檢驗貝爾不等式，許多實驗付諸了實施，其中最有成效的是阿斯派克特、達利巴德與羅哲等人在1982年12月《物理評論快報》（Physicol Review Letters，vol.39，P.1804）上報導的。

他們的實驗是對于由鈣原子單次躍遷中同時發射的反向運動的光子對進行偏振測量。由4p　(J=0)→4s4p　1P1(J=1)→4s2 1S0(J=0)這個級聯産生兩個偏振關聯的可見光子：λ1=551.3 nm,λ2=442.7 nm。實驗布局如圖所示。聚焦在相互作用區的兩個激光束垂直照射鈣原子束（鈣原子隻能通過雙光子“級聯輻射”再次衰變至原态），相互作用區是長1 mm、直徑60 μm的圓柱體。在相互作用區内典型密度為3×10個原子/cm，這樣低的密度足以防止422.7 nm共振光的截獲。采用雙光子激發，第一個激光束(λK=406.7 nm)由單模氪離子激光器提供，第二個激光束為連續單模染料激光器，調諧到雙光子過程的共振波長λD=581 nm。這兩個激光器有着平行的偏振，每個功率為40 mW，典型的級聯率為4×10^7/s。偏振器Ⅰ和Ⅱ為堆片式偏振器，每個都是由傾斜成布儒斯特角的10片光學平面玻璃組成，前面插入一個線偏振片，它們的效率由實驗裝置測定。在光源兩邊約6米遠處各置有一個聲光開關裝置，其原理是利用水的折射率略随壓強而變這一事實。

在此開關中，利用反向傳感器建立起約25MHz的超聲駐波。安排光子以接近全内反射的臨界角碰到開關上，緻使每半個聲波周期（即頻率為50MHz）可以有一次由透射條件向反射條件的轉換。

此實驗是通過電子監視每對光子命運并評估關聯的級别而實施的。這個實驗唯一而本質的特征是：在光子飛行途中，可以任意地更改光子的繼後路徑（即改變它們将要指向哪一個偏振片）。這等價于光源每一邊的偏振片如此快地重新取向，以緻信号即使以光速也沒有足夠的時間從一邊傳遞到另一邊。為了驗證兩位科學巨人的願望，阿斯派克特等人前後奮戰了8年，直到1982年才終于使偏振分析器保持各自方向的時問由原來的60ns 縮短為10ns，它短于光子在左右兩個偏振分析 器(距離L=13 m)之間飛行時間L ≈40 ns與光子發射壽命（約為5ns）。這樣就實現了在光子飛行期聞改變偏振分析器 的取向，滿足了貝爾的定域條件。1985年，阿斯派克特接受采訪時這樣評論：”我們實驗的主要特征之一就是改進了光子源的效能。以往研究EPR關聯的各種努力之所以導緻相當不确定的結果，主要是因為所使用的源僅能産生弱信号。”實際上，開關轉換并不是嚴格無規的，在不同頻率下的駐波是獨立地産生的，除非采用最為機敏的隐變量“同謀”理論，這跟真正無規轉換之間的差别是無關緊要的。

阿斯派克特等人報導：在他們的實驗中，一次典型的實驗持續12000秒，這段時間等分為三個階段：其中之一的實驗安排如上所述；另一個是将上述實驗中的所有偏振片拆除；第三個是在S的兩旁每邊隻拆除一個偏振片，這樣就可以糾正實驗結果中的系統誤差。在這個實驗中，根據貝爾不等式，如果現實是實在性的，則函數F（關于兩邊四個檢測器分别在四個偏振角度A1，A2，B1，B2上同時檢測結果的函數）的值必須介于-2.0與+2.0之間。但是，所有的實驗結果均表明：貝爾不等式不成立，而且，函數F的值總是符合量子理論（采用波函數描述光子）的預測。具體來說，因此，現實是非實在性的，而且可以被量子理論描述；并且量子理論是非局域性的。其實，如果現實是非定域性的，那麼，即使A與B兩邊相距很遠（甚至以光年計），貝爾不等式也不可能成立。

因斯布魯克實驗

奧地利的因斯布魯克大學(Innsbruck)的實驗也是一個典型例子。首先，他們将兩個測量站之間的距離分開400m以上，每個測量站都用計算機同起偏器相聯，每個起偏器都能随機而超快地開關變化“+”、“一”兩個信道，光纖将起偏器同位于測量站中部的孿生光子對光源接通。實驗時，孿生光子對離開光源後沿光纖反方向地傳播出去，兩個測量站的探測器和計算機随即收集并整理各光子通過“+”“一”信道的兩例數據。要特别強調的是，置身于兩邊測量站起偏器後面的觀察者，看到的僅僅是表觀的無規則的“+”“一”的兩個系列結果，在他那兒的單個測量中，不可以估計到對方測量站的操作者怎樣突然改變起偏器的方向(因為有1.3 微秒的時間間隔允許作起偏器方位的任意設置)。由于計算機輸出的起偏器“+”“一”信道的兩列數據都有原子鐘精确定時，還可以通過起偏器方向随機超快的變化來阻止它們間任何小于或等于光速的信号傳遞。所以，将兩個測量站各得到的兩列數據比較到後面部分，因斯布魯克小組的物理學家就能斷定：隻要某方起偏器開關一有動作，孿生光子對的兩個光子分别通過兩邊測量站信道的狀況就會同号地改變。即當發現光子v。為正的偏振時，它的孿生同伴v也會被發現是正的偏振，反之亦然。其間沒有任何時間上的延遲，這就反映了孿生量子實體的不可分離性，也就是非定域性。

他們最後作出的結論是：實驗結果極為優勢地同量子力學的預期一緻，無可置疑地違反了貝爾不等式。

影響範圍

從貝爾不等式的驗證實驗可以看到，特别挑出來的具有嚴格相對論性分離的測量都嚴重違反貝爾不等式，說明按愛因斯坦方式描述孿生光子對的想法是行不通的，因為愛因斯坦是把EPR光子對的相互關聯看成是由普通光源決定的普通性質，而後這些性質又在光子離開光源時被一道帶走。但真實的情況應該是：一個EPR糾纏光子對是一個不可分離的實體，是不可能分派單獨的局部性質給每個光子的。從某種意義上說，孿生光子對之間通過空間和時間保持聯系，是量子不可分離性的直接明顯的表現。難怪EPR文章會引起玻爾的強烈震動。蓋因多粒子體系可能會導緻純粹的量子效應！這在EPR論證提出以前是從未清晰地顯露尊容的。而今，這種源于“非定域性”的量子效應已激起量子信息研究的蓬勃開展，涉及諸如量子密鑰分配、量子濃縮編碼、量子隐形傳态、量子糾錯碼、量子計算機等衆多領域。貝爾不等式近30年的驗證曆程，使量子力學的正确性又經受了一場高技術、高規格的嚴峻證明，它标志着直到今天實驗都不支持對量子力學非完備性的指責，也反映了定域隐變量理論是不能取代量子力學的，就連貝爾本人都斷然認定：“任何定域隐變量理論都不可能重現量子力學的全部統計性預言”(貝爾定理)。

總之，貝爾不等式及其驗證結論的科學意義是深遠的，它把量子力學中糾纏着哲學思辯的争論演化成了可以運作的檢驗；貝爾不等式的驗證經曆與顯現效應的現實意義也是重大的，它指引人們窺視到信息領域已經展現的神奇美景。諾貝爾物理學獎得主約瑟夫遜認為貝爾不等式和貝爾定理是“物理學中最重要的進展”，哲學家斯塔普認為貝爾定理是“意義最深遠的科學發現”。它不僅對量子力學的完備性和量子實體的不可分離性起到了“見證”的作用，而且對展開人們的思維和視野也将産生積極長久的影響。貝爾不等式驗證的否定結論和過程中顯出的效應，同邁克耳遜-莫雷實驗的否定性結論一樣，對物理學的進一步發展具有同等重要的地位。

參閱簡介

• 貝爾實驗的預測（Quantum mechanical Bell test prediction）

• CHSH不等式（CHSH inequality）

• GHZ實驗（GHZ experiment）

• 萊格特不等式（Leggett inequality）

• 萊格特-臯格不等式（Leggett-Garg inequality）

• 莫特問題（Mott problem）

• 任甯格負結果實驗（Renninger negative-result experiment）