發展簡史
最大模原理能由解析函數所實現的映射的拓撲性質得到直接的說明，即非常數的解析函數将開集映為開集;同樣也能由分析的觀點來證明，即根據柯西積分公式，函數()在域 内任一閉圓盤|-|≤的圓心之值等于它在圓周上積分值的算術平均數。
由此可知非常數的全純函數其模不能在 内取得最大值。這一原理在函數論中有着很廣泛的應用，以這個定理為根據的證明都非常簡明。
定理定義
形式1：設在區域内解析，則在内任何點都不能達到最大值，除非在内恒于某常數。
形式2：設在區域内解析，為内一點，若對于内所有的點都有，則在内必為一常數。
形式3：在有界區域内解析，在上連續的函數的模一定在上達到最大值，即存在，使得任給有。
驗證推導
證明：
因在内解析且不恒為常數，若有零點，則這些零點必是孤立的。因此，由。，必存在某個含的鄰域，使。
作，因在内解析且無零點，則在内解析，又因在内不恒為常數，從而它在内不恒為常數，則在内不恒為常數，故由最大模原理知在處不能達到極大值，從而在處不能達到極大值，因此不可能是在内的最小值。
定理推廣
1單複變函數的最大模、最小模原理及其推論：
定理1(最大模原理)設函數在區域内解析，則|在内任何點都不能達到最大值，除非在内恒等于常數。
最大模原理說明了解析函數在區域邊界上的最大模可以限制區域内的最大模。則也是解析函數特有的性質。
定理意義
最大模原理是解析函數論中最有用的定理之一，應用它可以解決多方面的問題，主要包括下面幾點:證明一些有名的定理和引理：證明某函數在一區域内有零點;證明某函數為常數。
