三棱錐定義
什麼是三棱錐
幾何體，錐體的一種，由四個三角形組成，亦稱為四面體。三棱錐有六條棱長，四個頂點，四個面。
底面是正三角形，頂點在底面的射影是底面三角形的中心的三棱錐稱作正三棱錐；
而由四個全等的正三角形組成的四面體稱為正四面體。
舉例
弓箭頭、三棱刮刀、其實所有長方體的物體切下的的角都是三棱錐
相關計算
h為底高（法線長度），A為底面面積，V為體積，L為斜高，C為棱錐底面周長有：
三棱錐棱錐的側面展開圖是由4個三角形組成的，展開圖的面積，就是棱錐的側面積，則：(其中Si,i=1,2為第i個側面的面積）
S全=S棱錐側+S底
S正三棱錐=1/2CL+S底
V=S(底面積)·H(高)÷3
三棱錐體積公式證明
：h為底高（法線長度），A為底面面積，V為體積，L為斜高，C為棱錐底面周長
三棱錐的底面面積S加頂點A'面積0除以2的平均面積1/2S的一個三棱柱乘以高h,就是三棱錐體積：
V=1/2（S+0）h=1/2Sh
S面積三角形AC乘h'除以2
例題
如圖，這是一個一般的三棱柱ABC-A'B'C'，它的體積可以分為三個等體積的三棱錐，即三棱錐C-A'AB，三棱錐C-A'B'B，三棱錐A'-CB'C'.
因為三棱柱的側面A'ABB'是平行四邊形，所以△A'AB的面積=△A'BB'的面積，即其中三棱錐C-A'AB與三棱錐C-A'B'B的底面積相等，它們兩個的頂點都是C，即C到它們底面的距離都相等，所以三棱錐C-A'AB與三棱錐C-A'B'B的體積相等。而三棱錐C-A'B'B也可以看作是三棱錐A'-BCB'，且三棱錐A'-CB'C'與三棱錐A'-BCB'的底面積相等（即△BCB'與△B'C'C的面積相等），且它們兩個的頂點都是A'，即A'到它們底面的距離都相等，所以三棱錐A'-CB'C'與三棱錐A'-BCB'的體積也相等，故三棱錐C-A'AB，三棱錐C-A'B'B，三棱錐A'-CB'C'的體積都相等，由此可見，一個三棱柱的體積等于三個等體積的三棱錐體積之和，即V三棱錐=1/3S·h.
三棱錐公式
海倫秦九韶體積公式
已知三棱錐棱長求其體積的體積公式。
任意一個三棱錐或者說四面體，其棱為a，b，c，d，e，f，其中a與d，b與e，c與f互為對邊，那麼有三棱錐（四面體）的體積公式為
内切球心
正三棱錐内切球心在頂點與底面重心的連線的距底面1/4處
相關計算：因為正三棱錐底面為正三角形，所以高線位于任意頂點與底邊中點連線，又三線合一，所以重心位于高線距頂點2/3處，即可算出頂點與重心的距離，又知正三棱錐邊長，即可根據勾股定理算出圓心所在直線（即頂點與底面重心的連線）的長度，即可算出底面與球心的距離（即内切球半徑）。
一般的三棱錐内切球心在四個面上的射影與四個面的重心重合，據此可确定球心位置。
外接球心
正三棱錐外接球心在頂點與底面重心的連線的距底面1/4處
相關計算：和計算内切球心一樣算出圓心所在直線（即頂點與底面重心的連線）的長度，即可算出頂點與球心的距離（即外接球半徑）。
一般的三棱錐外切球心在四個面上的射影與四個面的外心重合，據此可确定球心位置。
與棱相切的球心
正三棱錐的與棱相切的球心在頂點與底面重心的連線的距底面1/4處（正三棱錐三心重合）
一般的三棱錐與四條棱都相切的球心在四個面上的射影與四個面的内心重合，據此可确定球心位置。
其它相關
三棱錐頂點射影與底面三角形的“心”
設有三棱錐P-ABC，P在平面ABC上的射影為O，現讨論當三棱錐滿足什麼條件時，O分别是△ABC的外心、内心、旁心、重心、垂心（三角形五心）。
外心
若O是△ABC的外心，則OA=OB=OC。由于OP⊥平面ABC（射影的定義），因此OP⊥OA、OP⊥OB、OP⊥OC。勾股定理得PA=PB=PC。又tanPAO=OP/OA，tanPBO=OP/OB，tanPCO=OP/OC，由此可知∠PAO=∠PBO=∠PCO。
綜上，可得到以下定理：
當三棱錐的三條側棱相等時，頂點在底面的射影是底面三角形的外心。
當三棱錐的三條側棱與底面所成角相等時，頂點在底面的射影是底面三角形的外心。
内心
若O是△ABC的内心，則O到三邊距離相等，且O在△ABC内。設O到BC、AC、AB的垂線段分别為OD、OE、OF，那麼OD=OE=OF。由勾股定理得PD=PE=PF。又tanPDO=OP/OD，tanPEO=OP/OE，tanPFO=OP/OF，因此∠PDO=∠PEO=∠PFO。且由三垂線定理可知PD⊥BC、PE⊥AC、PF⊥AB，即∠PDO、∠PEO、∠PFO分别是二面角P-BC-A、P-AC-B、P-AB-C的平面角。
綜上，可得到以下定理：
當三棱錐的頂點到底面三角形三邊距離相等，且頂點在底面的射影在底面三角形的内部，那麼射影是内心。
當三棱錐的各個側面與底面構成的二面角相等，且頂點在底面的射影在底面三角形的内部，那麼射影是内心。
旁心
由于旁心和内心的性質相同，都是到三角形三邊距離相等的點。隻不過内心在三角形内部而旁心在三角形外部。所以讨論的思路和内心相同，差異就在O與△ABC的位置關系而已。因此直接得到以下定理：
當三棱錐的頂點到底面三角形三邊距離相等，且頂點在底面的射影在底面三角形的外部，那麼射影是旁心。
當三棱錐的各個側面與底面構成的二面角相等，且頂點在底面的射影在底面三角形的外部，那麼射影是旁心。
垂心
若O是△ABC的垂心，則有OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB。又因為O是P的射影，由三垂線定理可知PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB。推廣來看，從PA⊥BC可以聯想到PA⊥平面PBC，而根據線面垂直的判定定理，PA⊥平面PBC的條件是PA⊥PB，PA⊥PC。同理，PB⊥PA，PB⊥PC；PC⊥PA，PC⊥PB。即PA、PB、PC兩兩垂直。
綜上，可得到以下定理：
當三棱錐的三條側棱兩兩垂直（或每條側棱都與所對的側面垂直）時，頂點在底面的射影是底面三角形的垂心。
當三棱錐有兩條側棱與對應的對邊垂直時，第三組側棱與對邊也垂直，且頂點在底面的射影是底面三角形的垂心。
重心
若O是△ABC的重心，由重心的性質可知。而△OAB、△OBC、△OAC恰好是側面PAB、PBC、PAC在底面的射影。
綜上，可得到以下定理：
當三棱錐的三個側面在底面上的射影面積相等時，頂點在底面的射影是底面三角形的重心。
