定義
三角形重心是三角形三邊中線的交點。當幾何體為勻質物體時，重心與形心重合。
性質
- 重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。在平面直角坐标系中，重心的坐标是頂點坐标的算術平均。重心是三角形内到三邊距離之積最大的點。三角形ABC的重心為G，點P為其内部任意一點，則3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。在三角形ABC中，過重心G的直線交AB、AC所在直線分别于P、Q，則AB/AP+AC/AQ=3。從三角形ABC的三個頂點分别向以他們的對邊為直徑的圓作切線，所得的6個切點為Pi，則Pi均在以重心G為圓心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)為半徑的圓周上。G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點，則PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。
性質證明
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交于G。
求證：EG=1/2CG
證明：過E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)
又∵AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
證明方法：
在△ABC内，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别為a、b、c邊上的中線。
根據重心性質知，OA'=1/3AA'，OB'=1/3BB'，OC'=1/3CC'，過O，A分别作a邊上高OH'，AH,可知OH'=1/3AH
則，S=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S；
同理可證S=1/3S，
所以，S=S=S
3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。(等邊三角形）
證明方法：
設三角形三個頂點為(x,y),(x,y),(x,y)平面上任意一點為（x，y）則該點到三頂點距離平方和為：
(x-x)+(y-y)+(x-x)+(y-y)+(x-x)+(y-y)
=3x-2x(x+x+x)+3y-2y(y+y+y)+x+x+x+y+y+y
=3[x-1/3*(x+x+x)]+3[y-1/3*(y+y+y)]+x+x+x+y+y+y-1/3(x+x+x)-1/3(y+y+y)
顯然當x=(x+x+x)/3,y=(y+y+y)/3（重心坐标）時
上式取得最小值x+x+x+y+y+y-1/3(x+x+x)-1/3(y+y+y)
最終得出結論。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是頂點坐标
即其坐标為[(X+X+X)/3,(Y+Y+Y)/3]；
空間直角坐标系——橫坐标：(X+X+X)/3，縱坐标：(Y+Y+Y)/3，縱坐标：（Z+Z+Z）/3
5、三角形内到三邊距離之積最大的點。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），則M點為△ABC的重心，反之也成立。
7、設△ABC重心為G點，所在平面有一點O，則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
重心順口溜
三條中線必相交，交點位置真奇妙，
交點命名為“重心”，重心性質要明了，
重心分割中線段，線段之比聽分曉；
長短之比二比一，靈活運用掌握好。
