定積分:微積分的重要概念-中文百科頻道

積分

分劃的參數趨于零時的極限，叫做這個函數在這個閉區間上的定積分。

不定積分（Indefiniteintegral）

即已知導數求原函數。若F′(x)=f(x)，那麼[F(x)+C]′=f(x).(C∈R).也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為F(x)+C的導數也是f(x)（C是任意常數）。所以f(x)積分的結果有無數個，是不确定的。我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。即如果一個導數有原函數，那麼它就有無限多個原函數。

定積分（definiteintegral）

定積分就是求函數f(X)在區間[a,b]中圖線下包圍的面積。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。

概念

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，将區間[a,b]分成n個子區間[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b]，可知各區間的長度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,…，△xi=b-xi.在每個子區間（xi-1,xi）任取一點ξi(i=1,2,…,n），作和式（見右下圖），設λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ屬于最大的區間長度），則當λ→0時，該和式無限接近于某個常數，這個常數叫做函數f(x)在區間[a,b]的定積分，記為（見圖）：

其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區間[a，b]叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積表達式，∫叫做積分号。

之所以稱其為定積分，是因為它積分後得出的值是确定的，是一個數，而不是一個函數。

基本性質

①：常數可以提到積分号前。

②：代數和的積分等于積分的代數和。

③：定積分的可加性：如果積分區間[a,b]被c分為兩個子區間[a,c]與（c,b]則有（見右圖）

④Risch算法

⑤如果在區間[a,b]上，f(x)≥0,則∫_a^b(f(x)dx)≥0

公式

牛頓—萊布尼茨公式

定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關系。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的内容是：

如果f(x)是[a,b]上的連續函數，并且有F′(x)=f(x)，那麼

用文字表述為：一個定積分式的值，就是原函數在上限的值與原函數在下限的值的差。

正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質的聯系，可見其在微積分學以至更高等的數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。

黎曼積分

定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說，就是把直角坐标系上的函數的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數個矩形，然後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數的圖象在區間[a,b]的面積。實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a,b.

我們可以看到，定積分的本質是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質是求一個函數的原函數。它們看起來沒有任何的聯系，那麼為什麼定積分要寫成積分的形式呢？

分點問題

定積分是把函數在某個區間上的圖象[a,b]分成n份，用平行于y軸的直線把其分割成無數個矩形，再求當n→+∞時所有這些矩形面積的和。習慣上，我們用等差級數分點，即相鄰兩端點的間距Δx是相等的。但是必須指出，即使Δx不相等，積分值仍然相同。我們假設這些“矩形面積和”S=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1)，那麼當n→+∞時，Δx的最大值趨于0，所以所有的Δx趨于0，所以S仍然趨于積分值.

換元法與分部積分法

定積分的換元法

設函數f(x)在區間[a，b]上連續；函數g(t)在區間[m，n]上是單值的且有連續導數；當t在區間[m，n]上變化時，x=g(t)的值在[a，b]上變化，且g(m)=a，g(n)=b；則有定積分的換元公式：

定積分的分部積分法

設u(x)、v(x)在區間[a，b]上具有連續導數u'(x)、v'(x)，則有(uv)'=u'v+uv'，分别求此等式兩端在[a，b]上的定積分，并移向得：

上式即為定積分的分部積分公式。