概述
解析函數analytic functionK·魏爾斯特拉斯将一個在圓盤上收斂的幂級數的和函數稱為解析函數，而區域上的解析函數是指在區域内每一小圓鄰域上都能表成幂級數的和的函數。關于解析函數的不同定義在20世紀初被證明是等價的。
基于魏爾斯特拉斯的定義，區域上的解析函數可以看作是其内任一小圓鄰域上幂級數的解析開拓，關于解析開拓的一般定義是，f（z）與g（z）分别是D與D*上的解析函數，若DÉD*，且在D*上f（z）=g（z）。則稱f（z）是g（z）由D*到D的解析開拓。
解析開拓的概念可以推廣到這樣的情形：f（z）與g（z)分别是兩個圓盤D1與D2上的幂級數，且D1∩D2≠，在D1∩D2上f（z)=g（z)則也稱f與g互為解析開拓，把可以互為解析開拓的（f（z），Δ）的解析圓盤Δ全連起來，作成一個鍊。它們的并記作Ω，得到了Ω上的一個解析函數，稱它為魏爾斯特拉斯的完全解析函數，這裡可能出現這樣的情形，在連成一個鍊的圓盤中，有一些圓盤重疊在一起，但在這些重疊圓盤的每一個上的解析函數都是不一樣的，它們的每一個都稱為完全解析函數的分支。
這樣的完全解析函數實際是一個多值函數。黎曼提出将多值解析函數中的那些重疊的圓盤看作是不同的“葉”，不使他們在求并的過程中隻留下一個代表，于是形成了一種稱為黎曼面的幾何模型。将多值函數看作是定義于其黎曼曲面上的解析函數，這樣多值解析函數變成了單值解析函數。
邊值問題
尋求滿足一定邊界條件的解析函數的一類問題，這是解析函數論在許多理論和實際問題中應用極為廣泛的一個重要分支。下面是兩個最典型的例子。
黎曼邊值問題
設l為複平面上一組有向的光滑曲線，把平面分割為若幹個連通區域,要求一分區全純函數(即在上述每一個連通區域内全純）φ(z)使(1)式中G(t),g(t)都是已知函數，而φ+(t)和φ-(t)分别表示當z從l的正側（即沿l正向前進時的左側）和負側(右側)趨于l上一點時φ(z)的極限值亦即邊值。此外還應補充要求φ(z)在無窮遠處至多有一極點。如果l中含有開口弧段，則也應說明要求φ(z)在l的端點附近的性态:具有不到一階的奇異性。在G(t),g(t)滿足一定的條件時,這一問題已完全解決。
希爾伯特邊值
設G為一區域，l為其邊界，取其正向使G在其左側，要求在G内的一全純函數φ(z)，使(2)式中α(t)，b(t),с(t)都是l上已給的實函數。特别,當α(t)=1,b(t)=0時，則此希爾伯特邊值問題就是解析函數的狄利克雷問題。當α(t),b(t),с(t)滿足一定的條件時，上述邊值問題已有較完整的讨論,但對G為多連通區域的情況還不能說已完全徹底解決。
有人把黎曼邊值問題稱作希爾伯特邊值問題，而把希爾伯特邊值問題稱作黎曼－希爾伯特邊值問題。這兩個問題是有密切聯系的，求解它們的主要工具都是柯西型積分。
進一步推廣是在(1)或(2)中可以含有或者含有φ+(α(t)),φ-(α(t))，其中α(t)為l映于自身的一個同胚映射，保向或逆向，稱為l的位移。這樣,相應的問題就稱為帶共轭的或帶位移的邊值問題，當然也有既帶共轭又帶位移的邊值問題。
如果把(1)或(2)中的φ(z)看作N維分區全純向量，而把G(t),α(t),b(t)看作N×N矩陣,g(t),с(t)也看作N維向量,則就構成了分區全純向量的邊值問題。這類問題雖也有許多工作，但與N=1的情況相比較,還遠遠沒有達到完善的地步。
由于解析函數概念可推廣為廣義解析函數（基于把解析函數的實部、虛部所滿足的柯西－黎曼方程組推廣為較一般的一階偏微分方程組），因此解析函數邊值問題也可推廣為廣義解析函數邊值問題，這是把函數論與偏微分方程結合起來的一個方向。
基本性質
奇點
若函數f(z)在點z0不解析，但在z0任一鄰域内總有f(z)的解析點，則稱z0為f(z)的奇點。
定理
單連通域内解析函數的環路積分為0。
複連通域内，解析函數的廣義環路積分（即包括内外邊界，内邊界取順時針為正）為0。
解析函數的導函數仍然是解析函數。
證明
證明：設p為不是常數的複系數多項式，假設p沒有複數根，則1/p是C上的解析函數。并且當z→∞時，p(z)→∞，或1/p→0，因此1/p是C上的有界解析函數，依據Liouville定理，任何這樣的函數都是常函數，但若1/p是常數，那麼p是常數，這與p不是常數的假設矛盾。
應用
解析函數邊值問題和廣義解析函數邊值問題在奇異積分方程方面有廣泛的應用，它們在彈性力學、流體力學方面也有重要的應用。這些方面的理論及其應用，主要是由蘇聯學者建立和發展起來的。自20世紀60年代以來，中國的數學工作者在這些方面也做了不少工作。
