基本内容
大學本科的微分幾何内容包括兩部分：局部理論和整體理論。
微分幾何的局部理論研究三維歐氏空間中的曲線和曲面在一點附近的性質，其中的一個主要問題是尋求幾何不變量并确定這些不變量能在什麼程度刻劃曲線和曲面。這就是所謂曲線論和曲面論基本定理的内容。
局部微分幾何的一個裡程碑是Gauss關于曲面的理論，他建立了基于曲面第一基本形式的幾何，并把歐幾裡得幾何推廣到曲面上“彎曲”的幾何。由此開創了曲面的内蘊幾何學的研究，使微分幾何成為一門真正獨立的學科。1915年，愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創立了新的引力理論——廣義相對論。
二十世紀三四十年代發展起來的整體微分幾何，其中的一個重要部分是讨論流形的曲率是如何影響流形的拓撲乃至度量性質。這方面最早的結果是Gauss-Bonnet定理，它表明曲面的Euler示性數能用Gauss曲率的積分表示。而微分幾何中的剛性問題讨論曲率等如何确定流形的度量性質。
微分幾何學以光滑曲線(曲面)作為研究對象，所以整個微分幾何學是由曲線的弧線長、曲線上一點的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關性質，則平面曲線在一點的曲率和空間的曲線在一點的曲率等，就是微分幾何中重要的讨論内容，而要計算曲線或曲面上每一點的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點到另一點的路徑是無數的，但這兩點間最短的路徑隻有一條，叫做從一點到另一點的測地線。在微分幾何裡，要讨論怎樣判定曲面上一條曲線是這個曲面的一條測地線，還要讨論測地線的性質等。另外，讨論曲面在每一點的曲率也是微分幾何的重要内容。
在微分幾何中，為了讨論任意曲線上每一點鄰域的性質，常常用所謂“活動标形的方法”。對任意曲線的“小範圍”性質的研究，還可以用拓撲變換把這條曲線“轉化”成初等曲線進行研究。在微分幾何中，由于運用數學分析的理論，就可以在無限小的範圍内略去高階無窮小，一些複雜的依賴關系可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。
近代由于對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質的研究，使微分幾何學同黎曼幾何、拓撲學、變分學、李群代數等有了密切的關系，這些數學部門和微分幾何互相滲透，已成為現代數學的中心問題之一。微分幾何在力學和一些工程技術問題方面有廣泛的應用，比如，在彈性薄殼結構方面，在機械的齒輪齧合理論應用方面，都充分應用了微分幾何學的理論。
曆史
起源n
微分幾何的産生和發展是和微積分密切相連的。在這方面第一個做出貢獻的是瑞士數學家歐拉（L.Euler）。1736年他首先引進了平面曲線的内在坐标這一概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐标，從而開始了曲線的内在幾何的研究。十九世紀初，法國數學家蒙日（G. Monge）首先把微積分應用到曲線和曲面的研究中去，并于1807年出版了他的《分析在幾何學上的應用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學、物理學與工業的日益增長的要求是促進微分幾何發展的因素。n
發展
1827年，德國數學家高斯發表了《關于曲面的一般研究》的著作，這在微分幾何的曆史上有重大的意義，它的理論奠定了曲面論的基礎。高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的内蘊幾何學。其主要思想是強調了曲面上隻依賴于第一基本形式的一些性質，例如曲面上曲線的長度、兩條曲線的夾角、曲面上的某一區域的面積、測地線、測地曲率和總曲率等等。
1854年德國數學家黎曼（B. Riemann）在他的教授職稱論文（Habilitationsschrift）中将高斯的理論推廣到n維空間，這就是黎曼幾何的誕生。其後許多數學家，包括E. Beltrami， E. B. Christoffel，R. Lipschitz，L. Bianchi，T. Ricci開始沿着黎曼的思路進行研究。其中Bianchi是第一個将“微分幾何”作為書名的作者。
1870年德國數學家克萊因（Felix Klein）在德國埃爾朗根大學作就職演講時，闡述了他的《埃爾朗根綱領》，用變換群對已有的幾何學進行了分類。在《埃爾朗根綱領》發表後的半個世紀内，它成了幾何學的指導原理，推動了幾何學的發展，導緻了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特别是射影微分幾何起始于1878年阿爾方的學位論文，後來1906年起經以威爾辛斯基為代表的美國學派所發展，1916年起又經以富比尼為首的意大利學派所發展。在仿射微分幾何方面，布拉施克（W. Blaschke）也做出了決定性的工作。
相關人物
“微分幾何之父”陳省身
陳省身1930年畢業于南開大學，1934年畢業于清華大學研究院，其後赴德國漢堡大學深造。他曾任教于西南聯合大學、美國普林斯頓大學、芝加哥大學和加州大學伯克利分校，是原中央研究院數學所、美國國家數學研究所、南開數學研究所的創始所長。陳省身開創并領導着整體微分幾何、纖維叢微分幾何、“陳省身示性類”等領域的研究，他是有史以來唯一獲得世界數學界最高榮譽“沃爾夫獎”的華人，被稱為“當今最偉大的數學家”，被國際數學界尊為“微分幾何之父”。國際數學大師、中科院外籍院士陳省身在天津病逝，享年93歲。
