面積:幾何數學術語-中文百科頻道

簡介

面積是表示平面中二維圖形或形狀或平面層的程度的數量。表面積是三維物體的二維表面上的模拟物。面積可以理解為具有給定厚度的材料的量，面積是形成形狀的模型所必需的，或者用單一塗層覆蓋表面所需的塗料量。它是曲線長度（一維概念）或實體體積（三維概念）的二維模拟。

可以通過将固定尺寸的形狀與正方形進行比較來測量形狀的面積。在國際單位制（SI）中，标準單位面積為平方米（平方米），面積為一米長的正方形面積，面積為三平方米的形狀将與三個這樣的廣場相同。在數學中，單位正方形被定義為具有區域1，任何其他形狀或表面的面積都是無量綱實數。

有幾種衆所周知的簡單形狀的公式，如三角形，矩形和圓形。使用這些公式，可以通過将多邊形分成三角形來找到任何多邊形的面積。對于具有彎曲邊界的形狀，通常需要微積分來計算面積。事實上，确定飛機數字面積的問題是演算曆史發展的主要動機。

對于諸如球體，錐體或圓柱體的實體形狀，其邊界面的面積被稱為表面積，簡單形狀的表面區域的公式由古希臘人計算，但計算更複雜形狀的表面積通常需要多變量微積分。

區域在現代數學中起着重要的作用。除了其在幾何和微積分中的顯着重要性，面積與線性代數中的決定因素的定義有關，是微分幾何中表面的基本特性。在分析中，使用Lebesgue測量來定義平面的子集的面積，盡管并不是每個子集都是可測量的。一般來說，高等數學領域被視為二維地區體積的特殊情況。

可以通過使用公理來定義區域，将其定義為某些平面圖的集合與實數集合的函數。可以證明存在這樣的函數。

發展曆史

圓的面積

在公元前5世紀，希俄斯堡的希波克拉底是第一個顯示盤片區域（由圓圈包圍的區域）與其直徑的平方成比例的，作為他在希波克拉底時代的正交的一部分，但沒有确定比例常數。Cnidus的Eudoxus也在公元前5世紀也發現磁盤的面積與其半徑平方成正比。

随後，歐幾裡德要素的第一卷涉及二維人物之間的平等。數學家阿基米德使用歐幾裡德幾何的工具來表明，在他的書“測量圈”中，一個圓内的區域與一個直角三角形的直角三角形相同，其直徑三角形具有圓的圓周長度，高度等于圓的半徑。（圓周為2πr，三角形的面積為基準的一半乘以高度，産生磁盤的面積為πr²）。阿基米德的近似值為π（因此單位半徑圓的面積）與他的倍數方法，其中刻有一個正三角形的圓圈并注明其面積，然後将邊數增加一倍，給出正六邊形，然後随着多邊形的面積越來越接近圓的邊數，反複加倍邊數（并用限定的多邊形做同樣的）。

1761年，瑞士科學家約翰·海因裡希·蘭伯特（Johann Heinrich Lambert）證明，一個圓的面積與其平方半徑的比值是不合理的，這意味着π不等于任意兩個整數的商。1794年，法國數學家Adrien-Marie Legendre證明π2是不合理的;這也證明π是不合理的。1882年，德國數學家費迪南德·馮·林德曼（Ferdinand von Lindemann）證明，π是超驗的（不是任何具有理性系數的多項式方程的解），證實了勒讓德和歐拉的推測。

三角形面積

亞曆山大的蒼鹭（或英雄）發現了三角形方面所謂的蒼鹭的公式，并且在他的書中，可以在他的大約60年前寫的Metrica的書中找到一個證明。有人建議阿基米德在兩個世紀前知道這個公式，由于Metrica是古代世界可用的數學知識的集合，所以有可能該公式早于該作品中的參考。

在印度數學和印度天文學古典時代的一位偉大的數學家-天文學家499年，Aryabhata将三角形的面積表示為Aryabhatiya高度的一半。

中國人獨立于希臘人發現了相當于蒼鹭的公式。它于1247年在蜀崎九章出版（“九章數學論”）上發表，由秦九紹撰寫。

四邊形面積

在公元七世紀，Brahmagupta開發了一個公式，現在稱為Brahmagupta的公式，用于其側面的循環四邊形（四邊形刻在圓中）的面積。1842年，德國數學家Carl Anton Bretschneider和Karl Georg Christian von Staudt獨立地發現了一種稱為Bretschneider公式的公式，用于任何四邊形的區域。

一般多邊形面積

17世紀由雷内笛卡爾發展笛卡爾坐标允許在19世紀由高斯開發具有已知頂點位置的任何多邊形區域的測量師公式。

使用微積分确定面積

17世紀末的積分演化提供了随後可用于計算更複雜區域的工具，例如橢圓的面積和各種彎曲的三維物體的表面積。