斐波那契數列

通項公式

遞推公式

斐波那契數列：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...

如果設F(n）為該數列的第n項（n∈N*），那麼這句話可以寫成如下形式：

顯然這是一個線性遞推數列。

黃金分割

有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達的。而且當n趨向于無窮大時，後一項與前一項的比值越來越逼近黃金分割0.618.（或者說後一項與前一項的比值小數部分越來越逼近黃金分割0.618、前一項與後一項的比值越來越逼近黃金分割0.618）

1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...

越到後面，這些比值越接近黃金比.

與黃金分割的證明

a[n+2]=a[n+1]+a[n]。

兩邊同時除以a[n+1]得到：

a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

若a[n+1]/a[n]的極限存在，設其極限為x，

則lim[n->；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；；∞](a[n+1]/a[n])=x。

所以x=1+1/x。

即x²=x+1。

所以極限是黃金分割比。

相關特性

平方與前後項

從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積少1，每個偶數項的平方都比前後兩項之積多1。

如：第二項1的平方比它的前一項1和它的後一項2的積2少1，第三項2的平方比它的前一項1和它的後一項3的積3多1。

（注：奇數項和偶數項是指項數的奇偶，而并不是指數列的數字本身的奇偶，比如從數列第二項1開始數，第4項5是奇數，但它是偶數項，如果認為5是奇數項，那就誤解題意，怎麼都說不通）

證明經計算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)

與集合子集

斐波那契數列的第n+2項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數的子集個數。

求和

奇數項求和

偶數項求和

平方求和

加減求和

和項數公式

奇數項與某兩項的平方

偶數項與某兩項的平方

隔項關系

f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m)[n〉m≥-1，且n≥1]

兩倍項關系

f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)