對數求導法

定義

對求導的函數其兩邊先取對數，再同求導，就得到求導結果。這裡需要補充說明，。因為，的導數是。

這種求導方法就稱為取對數求導法 。簡稱對數求導法。

原理

對數求導法的原理就是

（1）換底，即；

（2）複合函數求導法則，即。

适用性

函數是乘積形式、商的形式、根式、幂的形式、指數形式或幂指函數形式的情況，求導時比較适用對數求導法，這是因為：取對數可将乘法運算或除法運算降格為加法或減法運算，取對數的運算可将根式、幂函數、指數函數及幂指函數運算降格成為乘除運算。

求導舉例

（1）設，求。

解 取對數得，求導得，所以。

（2）設，求

解取對數得，

求導得

（3）設函數由方程所确定，且已知，求。

解方程兩邊對求導，得，

，求得

将代入得。

注 這裡由于整體上是個減法，所以先取對數沒有用。如果寫為，那是錯的，對數沒有這樣的運算性質。

應用舉例

求函數在區間上的最小值，函數在區間上的最大值。

解和在區間上連續且可導，

（1）取對數得，求導得，所以，

x

(0,1/e)

1/e

(1/e,+∞)

f '(x)

負

0

正

f(x)

單調減少

最小值

單調增加

函數在區間上的最小值為

（2）取對數得，求導得，所以，

x

(0,e)

e

(e,+∞)

g'(x)

正

0

負

g(x)

單調增加

最大值

單調減少

函數在區間上的最大值為。