定義1
三角形的一個角的平分線與這個内角的對邊相交，連接這個角的頂點和交點的線段叫三角形的角平分線。（也叫三角形的内角平分線。）
由定義可知，三角形的角平分線是一條線段。
由于三角形有三個内角，所以三角形有三條角平分線。
且任意三角形的角平分線都在三角形内部。
三角形三條角平分線永遠交三角形内部于一點，這個點我們稱之為内心
定義2
三角形的一個内角平分線與這個角的對邊所在直線相交，連接這個角的頂點和交點的線段叫做三角形内角平分線。
由定義可知，三角形的内角平分線是一條線段。
三角形有六個外角，所以三角形有六條外角平分線。
把一個角平均分成兩個角的線段或射線叫做這個角的平分線。
三角形的三條角平分線相交于一點，這一點稱為三角形的内心，内心到三角形三邊的距離相等。
定理
三角形内角平分線的性質定理：三角形的内角平分線内分對邊成兩條線段，那麼這兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。
三角形内角平分線的判定定理：在Rt△ABC中，若點D按照邊AB和邊AC的比内分邊BC，則線段AD是∠BAC的平分線。
三角形外角平分線的性質定理：三角形的外角平分線分對邊成兩條線段，那麼這兩條線段與相鄰的兩邊對應成比例。三角形外角平分線的判定定理：在Rt△ABC中，若點D按照邊AB和邊CD的比外分邊BC，則線段AD是Rt△ABC的角∠BAC的外角平分線。三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。
性質
設⊿ABC的角A、B、C的對邊分别為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、三角形的外角平分線都在三角形外。
2、三角形的一條内角的平分線與不相鄰的兩個外角的平分線交于一點，該點叫做三角形的旁心。
3、三角形角平分線有個有趣的性質：三角形ABC中角A的平分線為AD，則AB:AC=BD:CD。(可用面積法證明)
4、三角形的角平分線都在三角形内。
5、設三角形ABC，∠A平分線AD，AB=c,AC=b,BC=a,半周長p=(a+b+c)/2,
三條角平分線為ta,tb,tc,AD=ta,BE=tb,CF=tc,
根據角平分線性質，BD/CD=c/b,(角平分對邊二部分之比為其鄰邊之比），
(b+c)/b=(BD+CD)/CD=a/CD,（合比）
CD=ab/(b+c),
在△ADC中，根據餘弦定理，
AD^2=b^2+CD^2-2CD*b*cosC
=b^2+a^2b^2/(b+c)^2-2ab^2*cosC/(b+c),
根據餘弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),
AD^2= b^2+a^2b^2/(b+c)^2-b(a^2+b^2-c^2)/(b+c)
AD^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2=bc[(b+c-a)(b+c+a)]/(b+c)^2,
Ta=AD=√[(bc*2p*(2p-2a))/(b+c)
=[2/(b+c)]√[bcp(p-a)].
同理可證，tb=[2/(a+c)]√[acp(p-b)].
tc=[2/(a+b)]√[abp(p-c)].
6、三角形的三條角平分線交于一點，該點叫做三角形的内心。常記作點I。
