性質定理
以右圖所示圓内接四邊形ABCD為例，圓心為O，延長AB至E，AC、BD交于P，則：
▶圓内接四邊形的對角互補：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°
▶圓内接四邊形的任意一個外角等于它的内對角：∠CBE=∠ADC
▶圓心角的度數等于所對弧的圓周角的度數的兩倍：∠A0B=2∠ACB=2∠ADB
▶同弧所對的圓周角相等：∠ABD=∠ACD
▶圓内接四邊形對應三角形相似：△ABP∽△DCP（三個内角對應相等）
▶相交弦定理：AP×CP=BP×DP
▶托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD
判定定理
1、如果一個四邊形的對角互補，那麼這個四邊形内接于一個圓；
2、如果一個四邊形的外角等于它的内對角，那麼這個四邊形内接于一個圓；
3、如果一個四邊形的四個頂點與某定點等距離，那麼這個四邊形内接于以該點為圓心的一個圓；
4、若有兩個同底的三角形，另一頂點都在底的同旁，且頂角相等，那麼這兩個三角形有公共的外接圓；
5、如果一個四邊形的張角相等，那麼這個四邊形内接于一個圓；
6、相交弦定理的逆定理；
7、托勒密定理的逆定理。
面積計算
S圓内接四邊形=√[﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚﹙p-d﹚]，[p=1/2﹙a+b+c+d﹚]，此公式叫婆羅摩笈多公式。熟悉海倫公式的可以看出，這和海倫公式三角形面積S=√[p ﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚] （p=1/2﹙a+b+c﹚）具有驚人的相似，其實海倫公式就是婆羅摩笈多公式d=0的特殊形式。
相關例題
例題1：
在圓内接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，BD=7，∠BDC=45°，則BC的長為_______？
答案
使用餘弦定理：BD=AB+AD-2AB×AD×cosA，解得∠A=120°，
因為：圓内接四邊形對角互補，
所以：∠C=60°，
使用正弦定理： BC÷sin∠BDC=BD÷sin∠C，
即BC÷[(√2)÷2]=7÷[(√3)/2]
所以：BC=(7√6)/3
例題2：
如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，AB>CD，K、M分别在AD、BC上，∠DAM=∠CBK，
求證：∠DMA=∠CKB（第二屆袓沖之杯初中數學競賽考題）
答案
證明：聯結KM與BC延長線上一點E。
因為：∠DAM=∠CBK
所以：AKMB四點共圓
因為：AB//DC
所以：∠DKM=∠MBA =∠DCE
所以：∠AKB=∠AMB，∠DKM=∠MBA
所以：CDKM四點共圓
所以：∠DKC=∠CMD
所以：∠CKB=∠DMA
