定義
要理解特征多項式，首先需要了解一下特征值與特征向量，這些都是聯系在一起的：
設A是n階矩陣，如果數λ和n維非零列向量x使得關系式
Ax=λx
成立，那麼，這樣的數λ就稱為方陣A的特征值，非零向量x稱為A對應于特征值λ的特征向量。
然後，我們也就可以對關系式進行變換：
(A-λE)x=0 其中E為單位矩陣
這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是系數行列式為0，即
|A-λE|=0
帶入具體的數字或者符号，可以看出該式是以λ為未知數的一元n次方程，稱為方陣A的特征方程，左端 |A-λE|是λ的n次多項式，也稱為方陣A的特征多項式。
到此為止，特征多項式的定義表述完畢
解法
1、把|λE-A|的各行（或各列）加起來，若相等，則把相等的部分提出來（一次因式）後，剩下的部分是二次多項式，肯定可以分解因式。
2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的兩個元素之一化為零，往往會出現公因子，提出來，剩下的又是一二次多項式。
3、試根法分解因式。
線性遞推數列中的特征多項式
除了線性代數中的矩陣，對于常系數線性遞推數列， 也存在特征多項式這個概念。而對于k階常系數線性遞推數列a(n+k)=c1a(n+k-1)+c2a(n+k-2)+...+cka(n)
我們也可以将這個數列寫成矩陣形式，即
[a(n+1)] [ 0 1 0 ... 0] [a(n)]
[a(n+2)] [ 0 0 1 ... 0] [a(n+1)]
... = [ .... ] ...
[a(n+k)] [ck c(k-1) ... c1] [a(n+k-1)]
在這種意義上，這個線性遞歸數列的特征多項式将正好是上面公式中矩陣的特征多項式。
同樣，如果記上面矩陣為A,我們可以給出這個數列一個線性代數形式的更加優美的公式:
[a(1)]
[a(2)]
a(n)=[1,0,...,0]A^{n-1}* ...
[a(k)]
