函數簡介
伽瑪函數（Gamma函數），也叫第二類歐拉積分，是階乘函數在實數域和複數域上的拓展。
，此定義可以用解析開拓原理拓展到整個複數域上，非正整數除外。
曆史背景
1728年，哥德巴赫在考慮數列插值的問題，通俗的說就是把數列的通項公式定義從整數集合延拓到實數集合，例如數列1,4,9,16.....可以用通項公式
自然的表達，即便 n 為實數的時候，這個通項公式也是良好定義的。直觀的說也就是可以找到一條平滑的曲線
通過所有的整數點，從而可以把定義在整數集上的公式延拓到實數集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列，我們可以計算
是否可以計算呢？我們把最初的一些的點畫在坐标軸上，确實可以看到，容易畫出一條通過這些點的平滑曲線。
但是哥德巴赫無法解決階乘往實數集上延拓的這個問題，于是寫信請教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼爾·伯努利，由于歐拉當時和丹尼爾·伯努利在一塊，他也因此得知了這個問題。而歐拉于1729 年完美的解決了這個問題，由此導緻了伽瑪 函數的誕生，當時歐拉隻有22歲。
公式介紹
伽瑪函數表達式：Γ（x)=∫e^(-t)*t^(x-1）dt （積分的下限是0，上限是+∞） 利用分部積分法（integration by parts）我們可以得到
Γ（x)=（x-1）*Γ（x-1） ，而容易計算得出Γ⑴=1,
由此可得，在正整數範圍有：Γ（n+1）=n!
在概率的研究中有一個重要的分布叫做伽瑪分布：
f(x)=λe^(-λx）（λx)^(x-1）/Γ（x) x>=0
=0 x<0
Stirling公式
Gamma 函數從它誕生開始就被許多數學家進行研究，包括高斯、勒讓德、魏爾斯特拉斯、劉維爾等等。這個函數在現代數學分析中被深入研究，在概率論中也是無處不在，很多統計分布都和這個函數相關。Gamma 函數作為階乘的推廣，首先它也有和 Stirling 公式類似的一個結論
Digamma函數
伽瑪函數的對數的導數稱為Digamma函數，記為
。
Digamma函數同調和級數相關，其中
，其中
是歐拉常數。而對于任意x有
。
在複數範圍内，Digamma函數可以寫成
。而Digamma函數的泰勒展開式為
，其中函數
為黎曼zeta函數，是關于黎曼猜想的一個重要函數。
類似伽瑪函數，Digamma函數可以有漸進式：
應用
在Matlab中的應用
其表示N在在N-1到0範圍内的整數階乘。
公式為：gamma(N)=(N-1)*(N-2)*...*2*1
例如：
gamma(6)=5*4*3*2*1
ans=120
