发展简史
蝴蝶定理的英文是Butterfly Theorem，蝴蝶定理是古典欧式平面几何最杰出的结果之一。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1994年2月号，题目的图形就像一只蝴蝶.蝴蝶定理作为一道著名的平面几何问题,有人赞誉它为欧式几何园地里的“一颗生机勃勃的常青树”。蝴蝶定理最先作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》，中同时刊登了蝴蝶定理的两个证明方法.其中一个是英国著名的自学成才的数学家霍纳的解法.霍纳受过中等教育,18岁时担任其母校校长.关于这个定理的证法多的不胜枚举,至今仍被数学热爱者研究。
定理定义
几何学史中一个有名的定理.过一圆的弦的中点引任意两条弦和,连结和,交弦于,则.
验证推导
霍纳证法
过作 ，垂足为 ，
连接
可知 (同弧所对的圆周角相等)
根据垂径定理得:
又
即
是的中点所以(垂径定理逆定理)
四点共圆（对角互补的四边形共圆 ) ，
同理， 四点共圆
(同弧所对的圆周角相等)
(同弧所对的圆周角相等)
在 和
帕斯卡证法
连接并延长分别交圆于连接交于 连接、 由帕斯卡定理得:共线 为 中点
又 为 直径
又
共圆， 共圆
又
又
定理推广
该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：
蝴蝶定理的圆外形式：
如图，延长圆中两条弦交于一点，过做垂线，垂线与的延长线交于，则可得出（证明方法可参考蝴蝶定理的证法2、3、4）
1.在圆锥曲线中
通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。
圆锥曲线上弦的中点为，过点任作两弦，弦分别交于，则为之中点。
而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。
射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线任意指定内部一个点和上面一个点,另外任意指定内部一个点和上面一个点,存在唯一一个投影变换将曲线变换到而且变换到,变换到.
由此对于本题，我们可以通过投影变换将变换成一个圆，而将弦的中点变换成这个圆的圆心。
在此变换以后，弦都是圆的直径而且四边形是圆内接矩形，也是一条直径，由对称性显然得出投影变换后为的中点。又因为变换前后都是线段的中点，我们可以得出在直线上这个变换是仿射变换，所以变换前也是的中点。
定理意义
蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。
