乘法公式
什么叫乘法公式
1.公式的应用不仅可从左到右的顺用(多项式乘法),还可以由右向左逆用(因式分解).
要记住一些重要的公式变形及其逆运算——除法等。
基本公式
2.基本公式就是最常用,最基础的公式,可以由此而推导出其它公式.
完全平方公式:(a±b)^2=a^2±2ab+b^2，
平方差公式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2，
立方和(差)公式:(a±b)(a^2+ab+b^2)=a^3±b^3，
完全立方公式：(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2;±b^3，
三数和平方公式：（a+b+c）^2;=a^2;+b^2;+c^2+2ab+2ac+2bc，
欧拉公式：（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc）=a^3+b^3+c^3-3abc
公式推广
公式的推广
①多项式平方公式:(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。
即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍。
②二项式定理:(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3，
(a±b)^4=a^4±4a^3b+6a^2b^2±4ab^3+b^4，
(a±b)^5=a^5±5a^4b+10a^3b^2±10a^2b^3+5ab^4±b^5，
…………
（a+b）
=a^n+Cn1*a^(n-1)*b+CN2*a^(n-2)*b……2+……+Cn(n-1)*a*b^(n-1)+b^n.
注意观察右边展开式的项数，指数，系数，符号的规律，见杨辉三角。
③由平方差,立方和(差)公式引申的公式
(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)=a^4-^b^4，
(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b4)=a^5+b^5，
(a+b)(a^5-a^4b+a^3b^2-a^2b^3+ab^4-b^5)=a^6-b^6，
…………
注意观察左边第二个因式的项数，指数，系数，符号的规律。
在正整数指数的条件下,可归纳如下：设n为正整数
⑴(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+aB2N-2-b2n-1)=a2n-b2n，
⑵(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1，
类似地：
⑶(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)=an-bn。
公式的变形及其逆运算
由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab；(a-b)2=(a+b)2-4ab。
由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)。
由公式的推广可知：当n为正整数时，an-bn能被a-b整除；
a2n+1+b2n+1能被a+b整除；a2n-b2n能被a+b及a-b整除。
乙例题
例1.己知:x+y=a,xy=b。
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求:①x2+y2;②x3+y3;③x4+y4;④x5+y5.
解:①x2+y2=(x+y)2-2xy=a2-2b;
②x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab;
③x4+y4=(x+y)4-4xy(x2+y2)-6x2y2=a4-4a2b+2b2;
④x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4)
=(x+y)[x4+y4-xy(x2+y2)+x2y2]
=a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2]
=a5-5a3b+5ab2.
例2.求证:四个连续整数的积加上1的和,一定是整数的平方.
证明:设这四个数分别为a,a+1,a+2,a+3.(a为整数)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1
=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1
=(a2+3a+1)2。
∵a是整数,整数的和,差,积,幂也是整数。∴a2+3a+1是整数。
例3.求证:2^222+3^111能被7整除。证明:2^222+3^111=(2×2)^111+3^111=4^111+3^111。
∵a^(2n+1)+b^(2n+1)能被a+b整除,(见内容提要4)
∴4^111+3^111能被4+3整除。
∴2^222+3^111能被7整除。
(扩展)快速判断一个整数是否可以整除另一个整数
如x=2368，则x1=8，x2=6，x3=3，x4=2
则有如下公式：
x%m=(x1+101%m*x2+102%m*x3+……+10n-1%m*xn)%m
其中%表示求余数的符号
公式证明
依据余数的两个定理
(m+n)%k=(m%k+n%k)%k（结合率）
(m*n)%k=((m%k)*n)%k（交换率）
则x%m
= (x1 + x2*10 + x3*102 +xn*10n-1)%m
= (x1%m+ x2*10%m+ x3*102%m +xn*10n-1%m)%m
= (x1%m+ (10%m*x2)%m + (102%m*x3)%m +(10n-1%m*xn)%m)%m
= (x1 + 10%m*x2+ 102%m*x3 +10n-1%m*xn)%m
所以公式得证
例4.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律。
解:∵(10a+5)^2=100a^2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25。
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：
幂的末两位数字是底数的个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数的十位上数
字a乘以(a+1)的积。
例如:15^2=225,幂的百位上的数字2=1×2；
25^2=625,6=2×3；
35^2=1225,12=3×4；
……
105^2=11025,110=10×11。
1、平方差公式
由多项式乘法得到(a+b)(a——b)=a²——b².即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
2、平方差公式的特征
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算．
3、完全平方公式
由多项式乘法得到（a±b）^2=a^2±2ab+b^2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.推广形式：（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
4、完全平方公式的特征
（a+b）^2=a^2+2ab+b^2与(a——b)^2=a^2——2ab+b^2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．
①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个符号不同．②公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式．
③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算．
④公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式.
5、乘法公式的主要变式
(1)a2——b2=(a+b)(a——b);
(2)(a+b)2——(a——b)2=4ab;
（3）(a+b)2+(a——b)2=2(a2+b2)；
（4）a2+b2=(a+b)2——2ab=(a——b)2+2ab
（5）a3+b3=(a+b)3——3ab(a+b)
（6）a^n-1=(a-1)(a^(n-1)+a^(n-2)+.....+a+1)
熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．
注意：
(1)公式中的a，b既可以表示单项式，也可以表示多项式.
(2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用.
(3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.
计算：
(1)(3a+2b)(2b——3a);(2)(x——2y)(——x——2y);(3)(a+b+c)(a——b——c)分析：
相乘的两个二项式，只要它们有一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差公式.相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方.
第(1)题的相同项是2b，相反项是3a与——3a.
第(2)题可以按第(1)题的方法计算，也可以先改变第二个因式的符号再运算.
第(3)题虽然不能直接运用平方差公式计算，但认真观察两个二项式中的相同项和相反项，就不难分组转化成平方差公式的结构形式.
解：
(1)原式=(2b+3a)(2b——3a)
=(2b)^2——(3a)^2
=4b^2——9a^2
(2)原式=(——2y+x)(——2y——x)
=(——2y)^2——x^2
=4y2——x2
(3)原式=[a+(b+c)][a——(b+c)]
=a^2——(b+c)^2
=a^2——(b^2+2bc+c^2)
=a^2——b^2——2bc——c^2
(1)98×102；(2)99×101×10001.
分析：
将98写成100——2，102写成100+2，第(1)题即能用平方差公式计算；同理将99写成100——1，101写成100+1，第(2)题也可用平方差公式计算：
解：
(1)98×102=(100——2)(100+2)
=10000——4=9996
(2)99×101×10001=(100——1)(100+1)×10001
=(10000——1)(10000+1)
=100000000——1=99999999
