一致连续

定义

若定义在区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的连续函数f(x)，如果对于任意给定的正数ε>0，存在一个只与ε有关与x无关的实数ζ>0，使得对任意A上的x1,x2，只要x1,x2满足|x1-x2|<ζ，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间A上是一致连续的。

定理

函数f(x)在闭区间[a,b]上一致连续的充分必要条件是其在[a,b]上连续；函数f(x)在开区间(a,b)上（或无穷区间上）一致连续的充分必要条件是其在开区间（或无穷区间）上连续且f(a+0)以及f(b-0)存在极限。

有界性

⑴对于函数f(x)在闭区间[a,b]和开区间(a,b)上一致连续，则f(x)在该区间上有上下界。

⑵对于函数f(x)在无限区间比如

上一致连续，则f(x)在该区间上不一定有上下界，若

存在，则f(x)在

上有上下界。