对数:计算特殊多位数之间乘积的工具-中文百科频道

简介

规范用词：

对数

英语名：

logarithm

见载：

数学名词

学科：

数学_分析学 _分析学基础?实分析

公布年度：

1993

对数函数

函数依赖于α和x二者，但是术语对数函数在标准用法中用来称呼形如的函数，在其中底数α是固定的而只有一个参数x。所以对每个基的值（不得是负数、0或1）只有唯一的对数函数。从这个角度看，底数α的对数函数是指数函数的反函数。词语“对数”经常用来称呼对数函数自身和这个函数的1个特定值。

对数函数图像和指数函数图像关于直线y=x对称，互为逆函数。

对数函数的性质有：

都过(1,0)点；

定义域为|R|≠0，值域为R；

α>1，在(0,+∞)上是增函数；1>α>0时，在(0,+∞)上是减函数。

零没有对数

在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数有对数。如：

㏑(-5)=㏑[(-1)*5]=㏑(-1)+㏑5=iπ+㏑5.

而事实上，当θ=(2k+1)π时(k∈Z），e^[(2k+1)πi]+1=0，这样，㏑(-1)的具有周期性的多个值，㏑(-1)=(2k+1)πi。这样，任意一个负数的自然对数都具有周期性的多个值。例如：㏑(-5)=(2k+1)πi+㏑5。

loga1=0，logaa=1

性质推导

定义：

若a^n=b(a>0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(a^b)=b

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

推导

1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、因为a^b=a^b

令t=a^b

所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

3、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

4、与（3）类似处理

MN=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

5、与（3）类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

基本性质4推广

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推导如下：

由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

换底公式的推导：

设e^x=b^m,e^y=a^n

则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

函数图象

1.对数函数的图象都过(1,0)点.

2.对于y=log(a)(n)函数,

①,当0<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.

②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.

3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.

其他性质

性质一：换底公式

log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)

推导如下：

N = a^[log(a)(N)]

a = b^[log(b)(a)]

综合两式可得

N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]

所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}

所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下：

由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数

log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1

在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。

指数对数不等式

1．解题思路：化超越不等式为代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性。

2．常见题型及等价转化：

(1)(a>0,a≠1)。当0<1时，f(x)1时，f(x)>g(x)。<1时，

(2)m·(ax)2+n·(ax)+k>0。令ax=t(t>0)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合。

(3)logaf(x)>logag(x)(a>0,a≠1)。

当0<1时，

当a>1时，

(4)。

令logaf(x)=t(t∈R)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合。

3．例题

例1．解不等式。