曆史介紹
主條目：三角函數的曆史
衆所周知，希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學家喜帕恰斯（190-120BC）制成了一張求各角所對弦的弦長函數的表格。并且，曾有人引用了他的極坐标系來确定恒星位置。在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個半徑随角度變化的方程。希臘人作出了貢獻，盡管最終并沒有建立整個坐标系統。
關于是誰首次将極坐标系應用為一個正式的坐标系統，流傳着有多種觀點。關于這一問題的較詳盡曆史，哈佛大學教授朱利安·科利奇（Julian Coolidge）的《極坐标系起源》作了闡述。格雷瓜·德·聖-萬桑特和博納文圖拉·卡瓦列裡，被認為在幾乎同時、并獨立地各自引入了極坐标系這一概念。聖-萬桑特在1625年的私人文稿中進行了論述并發表于1647年，而卡瓦列裡在1635進行了發表，而後又于1653年進行了更正。卡瓦列裡首次利用極坐标系來解決一個關于阿基米德螺線内的面積問題。布萊士·帕斯卡随後使用極坐标系來計算抛物線的長度。
在1671年寫成，1736年出版的《流數術和無窮級數》一書中，艾薩克·牛頓第一個将極坐标系應用于表示平面上的任何一點。牛頓在書中驗證了極坐标和其他九種坐标系的轉換關系。在1691年出版的《博學通報》一書中雅各布·伯努利正式使用定點和從定點引出的一條射線，定點稱為極點，射線稱為極軸。平面内任何一點的坐标都通過該點與定點的距離和與極軸的夾角來表示。伯努利通過極坐标系對曲線的曲率半徑進行了研究。
實際上應用“極坐标”這個術語的是由格雷古廖·豐塔納開始的，并且被18世紀的意大利數學家所使用。該術語是由喬治·皮科克（GeorgePeacock）在1816年翻譯席維斯·拉克魯克斯的《微分學與積分學》一書時，被翻譯為英語的。
亞曆克西斯·克萊羅和萊昂哈德·歐拉被認為是将平面極坐标系擴展到三維空間的數學家。
點的表示
正如所有的二維坐标系，極坐标系也有兩個坐标軸：（半徑坐标）和（角坐标、極角或方位角，有時也表示為或）。坐标表示與極點的距離，坐标表示按逆時針方向坐标距離0°射線（有時也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角坐标系中的x軸正方向。
比如，極坐标中的（3,60°）表示了一個距離極點3個單位長度、和極軸夾角為60°的點。(−3,240°)和（3,60°）表示了同一點，因為該點的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點3個單位長度的地方（240°−180°=60°）。
極坐标系中一個重要的特性是，平面直角坐标中的任意一點，可以在極坐标系中有無限種表達形式。通常來說，點（r,θ）可以任意表示為（r,θ±n×360°）或（−r,θ±(2n+1)180°），這裡n是任意整數。如果某一點的r坐标為0，那麼無論θ取何值，該點的位置都落在了極點上。
坐标轉化
在極坐标系與平面直角坐标系（笛卡爾坐标系）間轉換極
坐标系中的兩個坐标 ρ和 θ可以由下面的公式轉換為 直角坐标系下的坐标值
x=ρcosθ
y=ρsinθ
由上述二公式，可得到從直角坐标系中x和 y兩坐标如何計算出極坐标下的坐标
θ=arctany/x ( x不等于0)
在 x= 0的情況下：若 y為正數 θ= 90° (π/2 radians)；若 y為負，則 θ= 270° (3π/2 radians).
坐标方程
用極坐标系描述的曲線方程稱作極坐标方程，通常表示為r為自變量θ的函數。
極坐标方程經常會表現出不同的對稱形式，如果r(-θ) = r(θ)，則曲線關于極點（0°/180°）對稱，如果r(π-θ) = r(θ)，則曲線關于極點（90°/270°）對稱，如果r(θ-α) = r(θ)，則曲線相當于從極點順時針方向旋轉α°。
圓
方程為r(θ) = 1的圓。
在極坐标系中，圓心在(r0, φ) 半徑為 a 的圓的方程為r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2
該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程r(θ)=a表示一個以極點為中心半徑為a的圓。
直線
經過極點的射線由如下方程表示θ=φ
,其中φ為射線的傾斜角度，若 k為直角坐标系的射線的斜率，則有φ = arctan k。 任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。 這些在點（r0, φ）處的直線與射線θ = φ 垂直，其方程為
r(θ)=r0sec(θ-φ)
玫瑰線
一條方程為 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰線。
極坐标的玫瑰線（polar rose）是數學曲線中非常著名的曲線，看上去像花瓣，它隻能用極坐标方程來描述，方程如下：
r(θ)=a cos kθ
r(θ)=a sin kθ
OR如果k是整數，當k是奇數時那麼曲線将會是k個花瓣，當k是偶數時曲線将是2k個花瓣。如果k為非整數，将産生圓盤（disc）狀圖形，且花瓣數也為非整數。注意：該方程不可能産生4的倍數加2（如2，6，10……）個花瓣。變量a代表玫瑰線花瓣的長度。
阿基米德螺線
方程 r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一條阿基米德螺線。
阿基米德螺線在極坐标裡使用以下方程表示：r(θ)=a+bθ
.改變參數a将改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ > 0，另一條θ < 0。兩條螺線在極點處平滑地連接。把其中一條翻轉 90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。
圓錐曲線
橢圓，展示了半正焦弦
圓錐曲線方程如下：r=ep/(1-e cosθ)
其中l表示半正焦弦，e表示離心率。 如果e < 1，曲線為橢圓，如果e = 1，曲線為抛物線，如果e > 1，則表示雙曲線。
其中e表示離心率，p表示焦點到準線的距離。
其他曲線
由于坐标系統是基于圓環的，所以許多有關曲線的方程，極坐标要比直角坐标系（笛卡爾形式）簡單得多。比如lemniscates, en:lima?ons, anden:cardioids。
