靜态平衡系統
在分析力學裡，虛功原理闡明，對于一個靜态平衡(static equilibrium)系統，所有外力的作用，經過虛位移，所作的虛功，總合等于零，以方程式表達，其中，是虛功，是第個外力，是對應于的虛位移。轉換為以廣義力和廣義坐标表達，假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是一個标量的廣義位勢函數的對于其對應的廣義坐标的導數：虛功與廣義位勢的關系為所以，一個靜态平衡系統的位勢乃是個局域平穩值。注意到這系統隻處于平穩狀态。假設，要求這這系統處于穩定狀态，則位勢必須是個局域極小值。
拉格朗日方程式
在變分法裡，歐拉-拉格朗日方程式是從其對應的泛函的平穩點推導出的一種微分方程式。設定
參見
簡介
在數學上，一個反曲點或拐點是一條可微曲線改變凹凸性的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。決定曲線的拐點有助于理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特别有用。《北京日報》1982.10.31：“全縣二十二個有圍網的隊都做好了一切準備工作，提前到駐點候着。”
定義
若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。
若該曲線圖形的函數在某點的二階導數為零（且二階導數在該點兩側符号相反），或不存在，該點即為函數的拐點。這是尋找拐點時最實用的方法之一。
充要條件
拐點的必要條件：設在内二階可導，，若是曲線的一個拐點，但是0兩側全是凸，所以0不是函數的拐點。
拐點的充分條件：設在内二階可導，，若在兩側附近異号，則點為曲線的拐點。否則（即保持同号），不是拐點。
分類
拐點可以根據 f'（x）為零或不為零，進行分類。
如果f'（x）為零，此點為拐點的駐點，簡稱為鞍點。
如果f'（x）不為零，此點為拐點的非駐點。
舉一個鞍點的例子，是y=x³的點（0,0）。切線為x軸；切線正好在将圖像分為兩半。
參數曲線
平面參數曲線的拐點是使其曲率變号的點，此時曲率中心（居于曲線凹側）從曲線的一側換至另一側。
雙正則點
雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分（它們是向量）線性無關的點。在雙正則點上，曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零，但是不一定有變号。在尋找參數曲線的拐點時，我們通常先以微分找出非雙正則點，繼之研究其局部性狀，以判定是否為拐點。
設為域上的平面代數曲線，其拐點定義為一平滑點，使得該點切線與在點的相交重數。
注意到一條曲線與在點相切的充要條件是相交重數。當時，代數曲線的拐點定義等價于上節注記中的廣義定義。
鞍點
一個不是局部極值點的駐點稱為鞍點。
廣義而說，一個光滑函數（曲線，曲面，或超曲面）的鞍點鄰域的曲線，曲面，或超曲面，都位于這點的切線的不同邊。
鞍點這詞語來自于不定二次型的二維圖形，像個馬鞍：在x-軸方向往上曲，在y-軸方向往下曲。
檢驗二元實函數F(x,y)的駐點是不是鞍點的一個簡單的方法，是計算函數在這個點的黑塞矩陣：如果黑塞矩陣的行列式小于0，則該點就是鞍點。例如，函數在駐點的黑塞矩陣是：
我們可以看到此矩陣有兩個特征值2，－2。它的行列式小于0，因此，這個點是鞍點。然而，這個條件隻是充分條件，例如，對于函數點是一個鞍點，但函數在原點的黑塞矩陣是零矩陣，并不小于0。的鞍點在 (0,0) ，一維鞍點看起來并不像馬鞍！在一維空間裡，鞍點是駐點·也是反曲點。因為函數圖形在鞍點由凸轉凹，或由凹轉凸，鞍點不是區域性極點。
思考一個隻有一個變量的函數。這函數在鞍點的一次導數等于零，二次導數換正負符号·例如，函數 就有一個鞍點在原點。
兩座山中間的鞍點（雙紐線的交叉點）
思考一個擁有兩個以上變量的函數。它的曲面在鞍點好像一個馬鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高線圖裡，一般來說，當兩個等高線圈圈相交叉的地點，就是鞍點。例如，兩座山中間的山口就是一個鞍點。
極值
在數學中，極大值與極小值（又被稱為極值）是指在一個域上函數取得最大值（或最小值）的點的函數值。而使函數取得極值的點（的橫坐标）被稱作極值點。這個域既可以是一個鄰域，又可以是整個函數域（這時極值稱為最值）。數學函數的一種穩定值,即一個極大值或一個極小值。
局部最大值：如果存在一個ε > 0，使的所有滿足|x-x*| < ε的x都有f(x*)≥ f(x)我們就把點x*對應的函數值f(x*)稱為一個函數f的局部最大值。從函數圖像上看，局部最大值就像是山頂。
局部最小值：如果存在一個ε > 0，使的所有滿足|x-x*| < ε的x都有f(x*)≤ f(x)我們就把點x*對應的函數值f(x*)稱為一個函數f的局部最小值。從函數圖像上看，局部最小值就像是山谷的底部。
全局（或稱‘絕對’）最大值：如果點x*對于任何x都滿足f(x*)≥ f(x)，則點f(x*)稱為全局最大值。 全局（或稱‘絕對’）最小值：如果點x*對于任何x都滿足f(x*)≤ f(x)，則點f(x*)稱為全局最小值。
全局最值一定是局部極值，反之則不然。
極值的概念不僅僅限于定義在實數域上的函數。定義在任何集合上的實數值函數都可以讨論其最大最小值。為了定義局部極值，函數值必須為實數，同時此函數的定義域上必須能夠定義鄰域。鄰域的概念使得在x的定義域上可以有|x - x*| < ε。
局部最大值（最小值）也被稱為極值（或局部最優值），全局最大值（最小值）也被稱為最值（或全局最優值）。
求極值的方法
求全局極值是最優化方法的目的。對于一元二階可導函數，求極值的一種方法是求駐點（亦稱為靜止點，停留點，英語：stationary point），也就是求一階導數為零的點。如果在駐點的二階導數為正，那麼這個點就是局部最小值；如果二階導數為負，則是局部最大值；如果為零，則還需要進一步的研究。
一般地，如果在駐點處的一階、二階、三階……直到N階導數都是零，而N+1階導數不為零，則當N奇數且N+1階導數為正時，該點為極小值；當N是奇數且N+1階導數為負時，該點為極大值；如果N是偶數，則該點不是極值。
如果這個函數定義在一個有界區域内，則還要檢查局域的邊界點。如果函數在定義域内存在不可導點，則這些不可導點也可能是極值點。
例子
函數有惟一最小值，在x = 0 處取得。函數沒有最值，也沒有極值，盡管其一階導數在x = 0處也為0。因為其二階導數(6x)在該點也是0，但三階導數不是零。
函數cos(x)有無窮多個最大值，在x =0, ±2π, ±4π, ...，與無窮多個最小值 在x =±π, ±3π ... .
求函數的極值時還應當考慮其不可導點，即導數不存在的點。如函數y=|x|中0處的導數不存在，事實上從圖像上也能看出這一點來。而且0就是該函數的一個極小值。
