初等證明
素數定理有些初等證明隻需用數論的方法。第一個初等證明由1949年由匈牙利數學家保羅·厄多斯（另譯埃爾德什、艾狄胥、“愛爾多斯”，或“愛爾多希”）和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。
在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素數定理必須以複分析證明，顯出定理結果的“深度”。他認為隻用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。這是憑感覺說出來的，覺得一些方法比别的更高等也更厲害，而素數定理的初等證明動搖了這論調。Selberg－艾狄胥的證明正好表示，看似初等的組合數學，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，雖然該初等證明隻用到初等的辦法，其難度甚至要比用到複分析的證明遠為困難。
驗證推導
除2、3之外，所有6n±1都可置于一條坐标上，将6n+1分布在左邊，那麼中心點為1，右側為6n-1。反正則中心點為-1。坐标上的每個數字産生一條波形，未被覆蓋的點就是素數。波長等于數字自身，
将每條波形拆分，坐标左邊和坐标右邊形成兩條波形，存在兩個焦點，附圖：
